O. IntroductionSoient X une courbe alg6brique projective lisse de genre g > 2 sur ~, r, d des entiers, avec r> 2. On note U(r, d) la vari~t6 de modules des fibr6s alg6briques semi-stables sur X de rang r et de degr6 d, Us(r, d) On supposera par la suite qu'on n'est pas dans ce cas. On a alors codimu(r, a)(U (r, d)\ Us (r, d)) > 2, et U (r, d)\ Us (r, d) est le lieu des points singuliers de U (r, d). Si L est un fibr6 en droites de degr6 d sur X, on note U (r, L) (resp. U~(r, L)) la sous-vari6t6 ferm6e de U(r, d) (resp. Us (r, d)) correspondant aux fibr6s vectoriels de d&erminant isomorphe ~ L. Le but de ce travail est l'&ude de Pic(U(r, d)) et Pic(U(r, L)).
0.I. Factorialitd de U (r, d) et U (r, L)Le premier r6sultat est le (resp. (9(Or, i)). On peut aussi d6finir ces fibr6s par une propri6t6 universelle: par exemple (9(Or) est enti+rement d6termin6 par la propri&6 suivante: pour toute vari6t6 alg6brique S et toute famille E de fibr6s vectoriels semi-stables sur X, de rang r et de degr6 d param6tr6e par S, on peut d6finir un ((sous-sch6ma de saut)~ Z de S, dont les points fermbs sont les points s tels que H~174 et dont le faisceau d'id6aux (9(Z) est localement libre. Alors, si fE: S ~ U(r, d) est le morphisme canonique d6duit de E, on a un isomorphisme fe* r ~ C(Z).On a une propri6t6 universelle analogue pour d6finir (9(Or, L) (ces faits ne seront pas utilis6s dans la suite). On d6montrera le
Nous verrons dans l'autre description que nous donnons de Pic(U(r, d))quelle est la drpendance de C(Or) en F. Pic(U(r, d)). Soit S une varirt6 algrbrique. Une famille de fibrds de U (r, d) paramdtrke par S est un fibr6 vectoriel E sur S x X, plat sur S, tel que pour tout point ferm6 s de S, E s = Elts } x x soit semi-stable de rang r et de degr6 d. On note Ps, Px les projections S x X ~ S et S x X-~ X respectivement. Deux teUes families E, E' paramrtrres par S sont dites equivalentes s'il existe un fibr6 en droites L sur Set un isomorphisme E' ~ E | p~ L.
Groupe de Grothendieck de X etOn Im (lI~) c~ Pic (jtd)) = lI ~(Z) = det* (Pic~ (X)).On a une inclusion naturelle i: Pic(U(r, d))~ Pic(F(r, d)), et on a d6fini un morphisme de groupes y: H(r, d)--* Pic (F(r, d)). La partie (a) du th6or6me D dit simplement que l'image de y est contenue dans celle de i. Nous montrerons qu'on a en fait Pic (U(r, d))= Pic (F(r, d)).Pour faire le lien entre les deux descriptions, notons qu'on a o(o~) =L(-Ev]).On d6duit de (c) que si F' est un autre fibr6 sur X ayant les m~mes propri6t6s que F, on aDonnons maintenant une id6e des d6monstrations des th60r6mes B, C, D. On utilise une construction due fi Seshadri. On peut toujours supposer d aussi grand qu'on le veut, et dans ce cas tout fibr6 semi-stable E de rang r et de degr6 d peut s'6crire comme extension 0~ (gx| '-I ~E~Lo ~0, Lo &ant un fibr6 en droites isomorphe ~ det (E). La famille de toutes ces extensions est un fibr6 en espaces projectifs P sur jtd) (cf. w Soit ~ l'ouvert des extensions dont le terme du milieu est stable. On peut d6duire Pic(U~(r, d)) de Pic(~), qui on le verra est is...