The present paper continues the study of quasi-geodesic mappings f:(Vn, gij, Fih) → (V'n,g'ij, Fih) of pseudo-Riemannian spaces Vn, V'n with a generalized-recurrent structure Fih of parabolic type. By a generalized recurrent structure of parabolic type on Vn we mean an almost Hermitian affinor structure of parabolic type for which the covariant derivative of the structural affinor Fih satisfies the condition F(i,j)h=q(i Fj)h. In the previous paper by the authors [Proc. Intern. Geom. Center, 13:3 (2020) 18-32] it was proved that the class of pseudo-Riemannian spaces with generalized-recurrent structure of parabolic type is closed with respect to the considered mappings and the generalized recurrence vectors in (Vn, gij,Fih) and (V'_n, g'ij, Fih) may be distinct. In this article, it is assumed that the mapping f preserves the generalized recurrence vector qi. We construct geometric objects that are invariant under the quasi-geodesic mapping of generalized-recurrent spaces of parabolic type and recurrent-parabolic spaces. A number of conditions are given on these objects, which lead to the fact that a generalized-recurrent space of parabolic type admits a parabolic K-structure, and a recurrent-parabolic space admits a Kählerian structure of parabolic type. We study special types of these mappings that preserve some tensors of an intrinsic nature.
Стаття присвячена досліженню спеціального типу дифеоморфізмів псевдоріманових просторів з афінорною структурою. В [4] вивчалися дифеоморфізми псевдоріманових просторів, які є квазі-геодезичними відображеннями [2] і водночас майже геодезичними другого типу [3]. За означенням при квазі-геодезичному відображенні, що відповідає афінору $F^h_i$, геодезичні лінії простору $(V_n, g_{ij})$ переходять в так звані квазі-геодезичні лінії іншого простору $(\overline{V}_n, \overline{g}_{ij}, F^h_i)$. В [4], [8] вважалося, що КГВ $V_n$ на $\overline{V}_n$ задовольняє умові взаємності, тобто зворотне відображення також є квазі-геодезичним, відповідаючим тому ж афінору $F^h_i$. При цьому умови на афінор носять суто алгебраїчний характер (узгодженість з метричними тензорами $V_n$ і $\overline{V}_n$). При майже геодезичному відображенні другого типу за означенням геодезичні лінії $(V_n, g_{ij}, F^h_i)$ переходять в майже геодезичні лінії $(\overline{V}_n, \overline{g}_{ij})$, якщо афінор $F^h_i$ в $V_n$ задовольняє певним диференціальним рівнянням. В \cite{Kurbatova1980} доведено, що сукупність вказаних алгебраїчних і диференціальних умов приводить до того, що афінор $F^h_i,$ необхідно визначає на $V_n$ $e-$структуру, і розглянуто еліптичний та гіперболічний випадки. Ми називаємо афінорну структуру з такими умовами узагальнено-рекурентною ( а $V_n$ з такою структурою, відповідно, узагальнено-рекурентним простором) і обираємо для дослідження квазі-геодезичні відображення узагальнено-рекурентних просторів параболічного типу. В даній статті знайдено зв'язок тензора Рімана узагальнено-рекурентного простору з вектором узагальненої рекурентності. Доведено, що клас псевдо-ріманових просторів з узагальнено-рекурентною структурою параболічного типу замкнутий відносно розглядуваних відображень, але при цьому вектори узагальненої рекурентності просторів $V_n$ і $\overline{V}_n$ можуть не співпадати. Якщо вектор узагальненої рекурентності градієнтний, в узагальнено-рекурентному просторі існує $K$-структура. Доведено, що якщо $K$-простір допускає квазі-геодезичне відображення зі збереженням інтегровної $K$-структури параболічного типу, то ця $K$-структура - келерова, хоча сама по собі інтегровна $K$-структура параболічного типу може не бути келеровою. Знайдена структура тензора Рімана узагальнено-рекурентного простору параболічного типу, який допускає квазі-геодезичне відображення на плоский простір. Приведено компоненти метричного тензора такого простору в спеціальній системі координат.
The present paper continues the study of quasi-geodesic mappings f:(Vn, gij, Fih) → (V'n,g'ij, Fih) of pseudo-Riemannian spaces Vn, V'n with a generalized-recurrent structure Fih of parabolic type. By a generalized recurrent structure of parabolic type on Vn we mean an almost Hermitian affinor structure of parabolic type for which the covariant derivative of the structural affinor Fih satisfies the condition F(i,j)h=q(i Fj)h. In the previous paper by the authors [Proc. Intern. Geom. Center, 13:3 (2020) 18-32] it was proved that the class of pseudo-Riemannian spaces with generalized-recurrent structure of parabolic type is closed with respect to the considered mappings and the generalized recurrence vectors in (Vn, gij,Fih) and (V'_n, g'ij, Fih) may be distinct. In this article, it is assumed that the mapping f preserves the generalized recurrence vector qi. We construct geometric objects that are invariant under the quasi-geodesic mapping of generalized-recurrent spaces of parabolic type and recurrent-parabolic spaces. A number of conditions are given on these objects, which lead to the fact that a generalized-recurrent space of parabolic type admits a parabolic K-structure, and a recurrent-parabolic space admits a Kählerian structure of parabolic type. We study special types of these mappings that preserve some tensors of an intrinsic nature.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.