Wigner's irreducible positive energy representations of the Poincaré group are often used to give additional justifications for the Lagrangian quantization formalism of standard QFT. Here we study another more recent aspect. We explain in this paper modular concepts by which we are able to construct the local operator algebras for all standard positive energy representations directly i.e. without going through field coordinatizations. In this way the artificial emphasis on Lagrangian field coordinates is avoided from the very beginning. These new concepts allow to treat also those cases of "exceptional" Wigner representations associated with anyons and the famous Wigner "spin tower"which have remained inaccessible to Lagrangian quantization. Together with the d=1+1 factorizing models (whose modular construction has been studied previously), they form an interesting family of theories with a rich vacuum-polarization structure (but no on shell real particle creation) to which the modular methods can be applied for their explicit construction. We explain and illustrate the algebraic strategy of this construction.We also comment on possibilities of formulating the Wigner theory in a setting of a noncommutative spacetime substrate. This is potentially interesting in connection with recent unitarity-and Lorentz invariancepreserving results of the special nonlocality caused by this kind of noncommutativity. * work supported by CNPq

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Neste artigo deduzimos a equação característica da trajetória seguida por um raio de luz monocromático que se propaga num meio comíndice de refração variável. Embora essa dedução seja inspirada nas técnicas do cálculo variacional, elaé apresentada de modo elementar e auto-suficiente, utilizando somente conceitos básicos do cálculo diferencial e integral. Além da dedução, também analisamos alguns aspectos gerais da equação e discutimos alguns casos particulares. Finalmente, mostramos que a equação implica na Lei de Snell para a refração da luz como um caso limite. Palavras-chave: lei de Snell, princípio de Fermat.In this article we deduce the characteristic equation for trajectories performed by monocromatic light rays which propagate through medium with a variable refractive index. Although our deduction was inspired in techniques from variational calculus, it is presented in an elementar and self-contained way and it uses only basic concepts of differential and integral calculus. Besides deduction, we analyse certain general aspects of the equation and discuss some special cases also. In particular, we show that this equation leads to the Snell's Law for refraction of light as a limiting case. Keywords: Snell's law, Fermat's principle. IntroduçãoOs raios de luz que atravessam a superfície de separação entre meios transparentes comíndices de refração diferentes são parcialmente refletidos e parcialmente transmitidos através da superfície segundo a lei da reflexão e a lei de Snell,às quais podemos dar os seguintes enunciados:Lei da reflexão: para um raio de luz que se reflete numa superfície suave, oângulo de incidênciaé igual aoângulo de reflexão, medidos em relaçãoà normal.Lei de Snell: para um raio de luz monocromático que atravesse a superfície de separação de dois meios transparentes coḿ ındices de refração η 1 e η 2 , oângulo do raio incidente θ 1 e oângulo do raio transmitido θ 2 (ângulo de refração), medidos com respeitoà normal, satisfazem a relação η 1 sin (θ 1 ) = η 2 sin (θ 2 ) . A lei de Snell2 caracteriza o comportamento dos raios luminosos quando eles atravessam a superfície que separa dois meios transparentes em termos da quantidade chamadaíndice de refração; para uma luz monocromática, oíndice de refração η de um meioé definido pelo quociente entre a velocidade c da luz no vácuo e a velocidade v dessa luz no meioExperimentalmente, verificamos que oíndice de refração depende tanto da substância que compõe o meio de propagação quanto da cor da luz (i.e., da sua freqüência); naturalmente, as características físicas das substâncias e da luz determinam o modo como elas interagem; essa dependência pode ser analisada, mas nãó e necessária para a descrição das trajetórias dos raios de luz, desde que possamos medir osíndices de refração experimentalmente.A seguir, deduziremos uma equação diferencial que caracteriza as trajetórias dos raios de luz monocromáticos que atravessam meios cujosíndices de refração sejam variáveis; essa equação tem a lei de Snell 1 E-mail: dmtlucio@furg.br.2 A superfície de separa...

A dispersive quantum system is a quantum system which is both isolated and non-time reversal invariant. This article presents precise definitions for those concepts and also a characterization of dispersive quantum systems within the class of completely positive Markovian quantum systems in finite dimension (through a homogeneous linear equation for the nonHamiltonian part of the system's Liouvillian). To set the framework, the basic features of quantum mechanics are reviewed focusing on time evolution and also on the theory of completely positive Markovian quantum systems, including Kossakowski-Lindblad's standard form for Liouvillians. After those general considerations, a simple two-dimensional example is presented and then applied to describe the neutrino oscillation, with the introduction of a new "dispersive parameter."

Reportamos a uma pesquisa de natureza básica, exploratória e bibliográfica que investiga duas questões relacionadas: Por que o ensino da matemática frequentemente apresenta um desequilíbrio entre conceituação e procedimentos? Como ensinar Matemática dirimindo esse problema? Amparados pela Teoria dos Registros de Representação Semiótica, procuramos respostas definindo o conceito de desconexão procedimental e propondo a aplicação da programação de computadores no ensino da Matemática. Mostramos que os programas de computador constituem um registro de representação semiótica e defendemos que a programação pode subsidiar a compreensão de conceitos matemáticos por promover a conversão e reduzir a necessidade dos alunos treinarem algoritmos para resolver problemas. Para ilustrar, apresentamos um modelo para aplicação da programação no ensino da Matemática e discutimos três exemplos de atividades.