The solutions of elliptic problems with a Dirac measure righthand side are not H 1 in dimension d ∈ {2, 3} and therefore the convergence of the finite element solutions is suboptimal in the L 2 -norm. In this article, we address the numerical analysis of the finite element method for the Laplace equation with Dirac source term: we consider, in dimension 3, the Dirac measure along a curve and, in dimension 2, the punctual Dirac measure. The study of this problem is motivated by the use of the Dirac measure as a reduced model in physical problems, for which high accuracy of the finite element method at the singularity is not required. We show a quasioptimal convergence in the H s -norm, for s ≥ 1 on subdomains which exclude the singularity; in the particular case of Lagrange finite elements, an optimal convergence in H 1 -norm is shown on a family of quasiuniform meshes. Our results are obtained using local Nitsche and Schatz-type error estimates, a weak version of Aubin-Nitsche duality lemma and a discrete inf-sup condition. These theoretical results are confirmed by numerical illustrations.
The aim of this note is to present a numerical method to solve the Stokes problem in a bounded domain with a Dirac source term, which preserves optimality for any approximation order by the finite element method. It is based on the knowledge of a fundamental solution of the associated operator over the whole space. This method is motivated by the modeling of the movement of active thin structures in a viscous fluid.Keywords: error estimates, finite element method, Stokeslet, thin structures. RésuméUne méthode numérique pour la résolution du problème de Stokes avec une force ponctuelle en terme source. Le but de cette note est de présenter une méthode numérique pour la résolution du problème de Stokes avec une force ponctuelle en terme source, qui assure l'optimalité de l'erreur d'approximationéléments finis. Elle s'appuie sur la connaissance explicite d'une solution fondamentale de l'opérateur linéaire associé. Cette méthode est motivée par la modélisation du mouvement de structures fines actives dans un fluide visqueux. Mots clés : estimations d'erreur, méthodeéléments finis, Stokeslet, structures fines. Version française abrégéeL'étude du mouvement de structures fines actives dans un fluide visqueux, tels que les flagelles permettant la nage de bactéries ou les cils impliqués dans le transport mucociliaire, conduità considérer le problème de Stokes avec un second membre singulier. Dans l'asymptotique d'un cil dont le diamètre tend vers 0 et la vitesse vers l'infini, le terme source est en fait une distribution linéique de forces. Dans le but de pouvoir faire des calculs, puisque intégrer numériquement le long d'une courbe quelconque est difficile, nous approchons la distribution linéique de forces δ Γ par une somme de forces ponctuelles ř c i δ i . Une preuve basée sur celle du théorème des sommes de Riemann permet de montrer qu'il y a convergence, au sens faible dans H´3 {2´s , pour tout s ą 0, de ř c i δ i vers δ Γ lorsque le nombre N de masses de Dirac tend vers l'infini. On peut aussi préciser la convergence dans des espaces plus faibles, voir (1). La convergence des solutions associées se déduit de l'inégalité (2), tirée de [4]. On est alors ramenéà l'étude du problème de Stokes avec une force ponctuelle en terme source.Lorsqu'on considère un problème elliptique avec une masse de Dirac en second membre, en dimension d ě 2, ce second membre n'étant pas dans H´1, le problème sort du cadre variationnel standard basé sur l'espace de Sobolev H 1 . Si la méthode deséléments finis peutêtre définie au niveau discret, les résultats de convergence classiques ne sont a priori plus valables. Dans le cas du problème de Poisson, qui peutêtre vu comme une version scalaire et simplifiée du problème Pour fixer les idées, nous allons nous intéresser au problème de Stokes avec des conditions aux limites de type Dirichlet homogènes, voir le problème (4). La particularité de ce problème réside en la singularité du second membre : un Dirac de force appliqué en un point x 0 du domaine Ω. Pour cet opérateur, on connaît u...
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.