Feathers, like hairs, first appear as primordia consisting of an epidermal placode associated with a dermal condensation that is necessary for the continuation of their differentiation. Previously, the BMPs have been proposed to inhibit skin appendage formation. We show that the function of specific BMPs during feather development is more complex. BMP2 and BMP7, which are expressed in both the epidermis and the dermis, are involved in an antagonistic fashion in regulating the formation of dermal condensations, and thus are both necessary for subsequent feather morphogenesis. BMP7 is expressed earlier and functions as a chemoattractant that recruits cells into the condensation, whereas BMP2 is expressed later, and leads to an arrest of cell migration, likely via its modulation of the EIIIA fibronectin domain and α4 integrin expression. Based on the observed cell proliferation, chemotaxis and the timing of BMP2 and BMP7 expression, we propose a mathematical model, a reaction-diffusion system, which not only simulates feather patterning, but which also can account for the negative effects of excess BMP2 or BMP7 on feather formation.

Background: The risk of Plasmodium falciparum infection is variable over space and time and this variability is related to environmental variability. Environmental factors affect the biological cycle of both vector and parasite. Despite this strong relationship, environmental effects have rarely been included in malaria transmission models.

Following the Hodge decomposition of regular vector fields we can decompose the second member of any Liénard system into 2 (non-unique) polynomials, the first corresponding to potential and the second to Hamiltonian dynamics. This polynomial Hodge decomposition is called potential-Hamiltonian, denoted PH-decomposition, and we give it for any polynomial differential system of dimension 2. We will give in a future Note an algorithm expliciting the PH-decomposition in the neighborhood of particular orbits, like a limit-cycle for Liénard systems, the method being applicable for any polynomial differential system of dimension 2. To cite this article: J. Demongeot et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). RésuméSystèmes de Liénard et décomposition potentielle-hamiltonienne I -méthodologie. Un système de Liénard est un système différentiel du second ordre, du type : dx/dt = y, dy/dt = −g(x) + yf (x), où g et f sont des polynômes. Un tel système est susceptible d'être décomposé, de manière non unique, en 2 parties polynomiales, l'une potentielle et l'autre hamiltonienne, c'est-à-dire qu'il existe 2 polynômes P et H vérifiant : dx/dt = −∂P /∂x + ∂H/∂y, dy/dt = −∂P /∂y − ∂H/∂x. On montre, en utilisant la décomposition de Hodge des champs de vecteurs réguliers, que le second membre d'un tel système est décomposable en 2 polynômes, l'un correspondant à une dynamique de gradient et l'autre à une dynamique hamiltonienne. Cette décomposition de Hodge polynomiale est appelée potentielle-hamiltonienne, notée PH-décomposition, et nous en donnons la formule pour tout système différentiel polynomial du plan. Nous donnerons, dans une Note ultérieure, un algorithme permettant d'obtenir une formule explicite de la PH-décomposition au voisinage d'orbites particulières, telles qu'un cycle-limite dans le cas des systèmes de Liénard, la méthode étant applicable à tout système différentiel polynomial du plan. Pour citer cet article : J. Demongeot et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).Les systèmes de Liénard sont des Equations Différentielles Ordinaires de Dimension 2 (2D-EDO) du type : dx/dt = y, dy/dt = −g(x) + yf (x), où f et g sont des polynômes.Le système de van der Pol (cf. Fig. 1) en est un bon exemple [2][3][4], utilisé pour modéliser de nombreux systèmes biologiques régulés, dont le système cardiaque. Les polynômes g et f d'un système de van der Pol sont définis par :L'unique cycle-limite d'un système de van der Pol, lorsqu'il existe, est une courbe non algébrique difficile à approximer et il peut être très utile, dans les applications, d'en avoir une estimation polynomiale. Nous proposons donc, de manière générale, une décomposition des EDO régulières, dite potentielle-hamiltonienne, dont l'existence est fondée théoriquement sur la décomposition de Hodge [5][6][7][8].Une ODE est dite potentiel-hamiltonienne décomposable, s'il existe un couple de polynômes (P , H ), tel que : dx/dt = −∂P /∂x + ∂H/∂y, dy/dt = −∂P /∂y − ∂H/∂x.La partie du flot de vecteurs vitesse définie par P correspond à une dynamique de descent...