This paper presents the operation of tangential dilation, which describes the touching of differentiable surfaces. It generalizes the classical dilation, but is invertible. It is shown that line segments are eigenfunctions of this dilation, and are parallel transported, and that curvature is additive. We then present the slope transform which provides tangential morphology with the analytical power which the Fourier tansform lends to linear signal processing, in particular: dilation becomes addition (just as under a Fourier transform, convolution becomes multiplication). We give a discrete slope transform suited for implementation, and discuss the relationships to the Legendre transform, the Young-Fenchel conjugate, and the ~¢-transform. We exhibit a logarithmic correspondence of this tangential morphology to linear systems theory, and touch on the consequences for morphological data analysis of a scanning tunnelling microscope. Zusammenfassung Dieser Artikel stellt die Operationen der tangentialen Dilatation vor, die die Beriihrung differnzierbarer Oberfl~ichen beschreiben. Sic verallgemeinert die klassische Dilatation, ist aber umkehrbar. Es wird gezeigt, dab Liniensegmente Eigenfunktionen dieser Dilatation sind und parallel verschoben werden, und dab die Kriimmung additiv ist. Wir pr/isentieren dann die Steigungstransformation, die eine tangentiale Morphologie mit der analytischen Leistung liefert, wie sie die Fouriertransformation ffir die lineare Signalverarbeitung darstellt, speziell wird Dilatation zu Addition (genauso wie unter der Fouriertransformation Faltung zu Multiplikation wird). Wir pr~isentieren eine diskrete Steigungstransformation, die fiir eine Implementierung geeignet ist und besprechen die Beziehungen zur Legendre-Tranformation, zur Young-Fenchel Konjugierten und der ~¢-Transformation. Wir stellen eine logarithmische Obereinstimmung dieser tangentialen Morphologie mit der iinearen Systemtheorie dar und beriihren die Konsequenzen f/Jr die morphologische Datenanalyse eines abtastenden Tunnelmikroskops. R~um~ Cet article pr6sente l'op6ration de dilatation tangentielle, qui d6crit le contact de surfaces d6rivables. Elle g6ngralise la dilatation classique mais est inversible. On d6montre que les droites sont des fonctions propres de cette dilatation, qu'elles sont simplement d6plac6es parall61ement fi elle m6me par cette dilatation et que la courbature est additive. On pr6sente ensuite la transformation de pente qui fournit fi la morphologie tangentielle un outil analytique similaire fi la transformation de Fourier en traitement lin6aire du signal, en particulier: la dilatation devient une addition (de faqon analogue fi la convolution qui devient une multiplication apr6s transformation de Fourier). On donne une version
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