We discuss the theorem on the existence of six points on a convex closed plane curve in which the curve has a contact of order six with the osculating conic. (This is the "projective version" of the well known four vertices theorem for a curve in the Euclidean plane.) We obtain this classical fact as a corollary of some general Sturm-type theorems.
RésuméNous mettons enévidence l'existence d'une structure symplectique sur l'espace des courbes non paramétrées et non dégénérées d'une variété localement affine. Nous considéronségalement des espaces de courbes projectives munis d'une structure de Poisson. Cette construction relie l'algèbre de Virasoro et le crochet de Gel'fand-Dikiià la géométrie projective différentielle.
AbstractA symplectic structure on the space of nondegenerate and nonparametrized curves in a locally affine manifold is defined. We also consider several interesting spaces of nondegenerate projective curves endowed with Poisson structures. This construction connects the Virasoro algebra and the Gel'fand-Dikii bracket with the projective differential geometry. Nous nous intéresserons, dans cet article,à l'espace des courbes non dégénérées ‡ sur une variété localement projective. La question principale qui està l'origine de ce travail est la suivante :Existe-t-il une forme symplectique sur cet espace qui ne dépende que de la structure projective placée sur la variété ?Cette question nous amène naturellementà la théorie des algèbres de Lie de dimension infinie. Précisons ce fait par un premier exemple : la forme symplectique sur l'espace des structures projectives du cercle unité S 1 est reliéeà la structure de Poisson canonique dont est doté le dual de l'algèbre de Virasoro-. C'est la généralisation de cette structure -le crochet de Gel' fand -Dikii -qui prend le relais dans le cas d'une variété projective de dimension > 1. Le lien existant entre la géométrie différentielle projective et les algèbres de Lie de dimension infinie constitue le sujet principal de notre article.Les résultats nouveaux sont les suivants :1.1 Nous présentons une définition purement géométrique de la forme symplectique sur l'espace de toutes les structures projectives sur S 1à monodromie fixée (chap. 2.7). Cette 2-forme coïncide avec la forme de Kirillov -Kostant -Souriau sur les orbites coadjointes dans le dual de l'algèbre de Virasoro V ir (voir [Ki]).1.2 Soit Γ T l'espace des courbes γ paramétrées et non dégénérées sur la sphère S nà monodromie T ∈ P GL(n+1 ; IR) fixée (c'est-à-dire : γ(x+2π) = ‡ c'est-à-dire qu'en chacun de ses points, son drapeau osculateur est non dégénéré. (ii) L'application du moment⋆ pour l'action naturelle du groupe Diff(S 1 ) des difféomorphismes du cercle, coïncide avec la courbure projective.Corollaire: Il existe sur Γ T une forme symplectique invariante sous l'action du groupe Diff(S 1 ) .Nous présenterons dans le chapitre 7.4 la formule précise de la forme symplectique construite sur l'espace des courbes non oscillantes de IRP 2 . Toutefois, nous nous attacherons plutôtà examiner le cas de l'espace des courbes géométriques (c'est-à-dire : non paramétrées), la structure symplectique induite par le crochet de Adler-Gel' fand -Dikii servant de fil d'Ariane. Cette forme symplectique sera calculée explicitement dans le cas, plus simple, des courbes dans le plan projectif.1.3 Soit M une variété localement affine de dimension n. La notation C ...
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