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Abstract. In analogy with the classical Minkowski problem, necessary and sufficient conditions are given to assure that a given measure on the unit sphere is the cone-volume measure of the unit ball of a finite dimensional Banach space.

We prove the log-Brunn-Minkowski conjecture for convex bodies with symmetries to n independent hyperplanes, and discuss the equality case and the uniqueness of the solution of the related case of the logarithmic Minkowski problem. We also clarify a small gap in the known argument classifying the equality case of the log-Brunn-Minkowski conjecture for unconditional convex bodies. *

w 1. Einfiihrung Das Problem der dichtesten Packung gleich grol3er Kugeln ist bekanntlich fiir den n-dimensionalen Euklidischen Raum bei n =>3 noch ungel6st. Die beste bekannte obere Absch~itzung fiir die Dichte d einer solchen Lagerung stammt yon ROGERS [13]: Man lege um jeden Eckpunkt eines Iegulfiren Simplexes yon der Kantenl~inge 2r eine Kugel vom Radius r; bezeichnet d, die Dichte der Kugeln im Simplex, so gilt d<~do. Ffir einen beliebigen Raum konstanter Kriimmung wurde diese Abschgtzung 9 im Falle n = 2 yon FEJES TdTH [5] bewiesen und im Fallen-> 3 als Vermutung ausgesprochen [7]. Auf die interessanten FoIgerungen dieser Vermutung, insbesondere im Fallen == 3, haben unabh/tngig von einander FEJES TdTH [6] und COXETE~, [2] hingewiesen. Imw 2 beweisen wir die Richtigkeit der obigen Vermutung fiirn =3, indem wir zeigen, dab die Kugeldichte in jeder Dirichletschen Zelle ~ d 3 ist. Hieraus folgt u. a., dab die 120 Zelleninkugeln des spMrischen Mosaiks {5, 3, 3} eine dichteste Lagerung bilden. Noch interessanter ist aber der Fall des hyperbolischen Raumes. Hier ist n~imlich d3 = d(r) --wie imw 3 gezeigt wird --eine zunehmende Funktion yon r, so dab d~lim d(r)=0,853.., gilt. Die rechts stehende Dichtenschranke wird abet durch die Horosphfirenpackung, die aus den Zelleninkugeln des Mosaiks {6, 3, 3} besteht, tats/ichlich erreicht. Damit ist das Problem, der wievielte Teil des hyperbolischen Raumes sich durch kongruente Kugeln mit endlichem oder unendlichem Radius ausftillen 1/ii3t, vollst~indig gelSst. Zur Abschfitzung des Volumens der Dirichletschen Zelle einer Kugel ersetzen wir die Dirichletsche Zelle durch ihren Durchschnitt mit einer geeigneten konzentrischen Kugel. Dieser Kunstgriff riihrt yon FEJES T6T~ [4] her. Mit Hilfe einer Modifizierung des urspriinglichen Beweises yon FEJES T6TH erhielt MOLN~.R [11], [12] verschiedene bemerkenswerte Dichtenabschfitzungen in der nicht-Euklidischen Ebene. Die Ungleichung d<=d3 im nicht-Euklidischen Raum stammt vom ersten Verfasser, der zu diesen Untersuchungen durch Professor MOLNJ~R angeregt wurde. Den Beweis der Monotonie der Funktion d(r) hat der zweite Verfasser erbracht, nachdem ihn auf dieses Problem Professor FEJES TdTH aufmerksam gemacht hatte. Die unten benutzte Darstellung yon d(r) verdanken wir ebenfalls Herrn Professor tTEJES T6TH.