A mis padres. AgradecimientosEn primer lugar me gustaría comenzar dando gracias a mi director de tesis Aníbal Rodríguez Bernal, por toda la ayuda recibida durante estos años, matemática y no tan matemática. Sobre todo por su infinita paciencia y por su entusiasmo, que muchas veces era un gran aliento para poder continuar adelante. Todas las discusiones durante estos años me han hecho crecer un poco más como matemática y como persona.También querría agradecer al Departamento de Matemática Aplicada por ofrecerme las comodidades para poder estudiar cada día en la facultad. Por otro lado, agradezco a la Universidad Complutense de Madrid y al Ministerio de Eduación por concederme la beca que ha hecho posible que pudiese desarrollar esta tesis.Muchas gracias al profesor Emmanuel Chasseigne, por toda la ayuda prestada durante mi estancia en Tours, tanto matemática como personal. Y por todas las veces que durante estos años me ha ayudado.También agradecer al profesor James Robinson su muy agradable acogida durante mi estancia en Warwick. Muchas gracias por las conversaciones matemáticas, por las comidas y por su hospitalidad. Me gustaría hacer un hueco en estos párrafos a Julia y Ale que hicieron de mi estancia en Warwick, una época que recordaré con mucho cariño.Agradecer a mi familia y a mis amigos el apoyo recibido durante estos años. Y sobretodo agradecer a mis compañeros, sin los cuáles, todo habría sido mucho menos llevadero. Muchas gracias por todos los cafés por las mañanas, discusiones matemáticas, las comidas, meriendas, poleos, chistes buenos (y no tan buenos), que han hecho que durante este periodo todos los días hayan merecido una sonrisa. Gracias a Alba, Simone, Carlos P., Alfonso, Carlos Q., Manuel, María, Luis F., Marcos, Edwin, Luis H., Andrea, Espe, Nadia, Giovanni, Nacho, Javi, Alicia, Álvaro, Diego, y muchos otros.Por último quiero dejar estas últimas lineas para agradecer a Diego, que me ha ayudado muchísimo tanto matemáticamente como personalmente. Gracias por tu apoyo, confianza, paciencia y ánimo. ContentsResumen ix Resumen IntroducciónLa difusión es un proceso natural por el que, por ejemplo, la materia es transportada de un lugar a otro como resultado del movimiento molecular aleatorio. El experimento clásico que ilustra este proceso es aquel en el que se coloca una gota de tinta en un recipiente lleno de agua, y la tinta tiende a extenderse por todo el recipiente y la solución aparece coloreada de manera uniforme. (Existen experimentos más refinados para asegurar que no haya convección).Los modelos de difusión aparece en diferentes áreas como biología, termodinámica, medicina, e incluso economía. En biología, existen modelos que estudian la dinámica poblacional, i.e., cambios a corto y largo plazo, en el tamaño y edad de la población, y procesos medioambientales y biológicos que influyen en esos cambios. La dinámica poblacional se enfrenta con la forma en la que la población se ve afectada por la tasas de natalidad y mortalidad, y por la inmigración y la emigración. En medicina, los modelos d...

We study the asymptotic behavior for nonlocal diffusion models of the form u t = J * u − u in the whole R N or in a bounded smooth domain with Dirichlet or Neumann boundary conditions. In R N we obtain that the long time behavior of the solutions is determined by the behavior of the Fourier transform of J near the origin, which is linked to the behavior of J at infinity., the asymptotic behavior is the same as the one for solutions of the evolution given by the α/2 fractional power of the laplacian. In particular when the nonlocal diffusion is given by a compactly supported kernel the asymptotic behavior is the same as the one for the heat equation, which is a local model. Concerning the Dirichlet problem for the nonlocal model we prove that the asymptotic behavior is given by an exponential decay to zero at a rate given by the first eigenvalue of an associated eigenvalue problem with profile an eigenfunction of the first eigenvalue. Finally, we analyze the Neumann problem and find an exponential convergence to the mean value of the initial condition.and variations of it, have been recently widely used to model diffusion processes, see [1], [3], [6], [9], [11], [16], [17], [20], [21] and [22]. As stated in [16], if u(x, t) is thought of as the density of a single population at the point x at time t, and J(x−y) is thought of as the probability distribution of jumping from location y to location x, then (J * u)(x, t) = R N J(y −x)u(y, t) dy is

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Abstract. We present a model for nonlocal diffusion with Neumann boundary conditions in a bounded smooth domain prescribing the flux through the boundary. We study the limit of this family of nonlocal diffusion operators when a rescaling parameter related to the kernel of the nonlocal operator goes to zero. We prove that the solutions of this family of problems converge to a solution of the heat equation with Neumann boundary conditions.