The Kneser graph K(2n+k, n), for positive integers n and k, is the graph G = (V, E) such that V = {S ⊆ {1, . . . , 2n + k} : |S| = n} and there is an edge uv ∈ E whenever u ∩ v = ∅. Kneser graphs have a nice combinatorial structure, and many parameters have been determined for them, such as the diameter, the chromatic number, the independence number, and, recently, the hull number (in the context of P 3 -convexity). However, the determination of geodetic convexity parameters in Kneser graphs still remained open. In this work, we investigate both the geodetic number and the geodetic hull number of Kneser graphs. We give upper bounds and determine the exact value of these parameters for Kneser graphs of diameter two (which form a nontrivial subfamily). We prove that the geodetic hull number of a Kneser graph of diameter two is two, except for K(5, 2), K(6, 2), and K(8, 2), which have geodetic hull number three. We also contribute to the knowledge on Kneser graphs by presenting a characterization of endpoints of diametral paths in K(2n + k, n), used as a tool for obtaining some of the main results in this work.
Esse artigo apresenta uma discussão preliminar sobre o número geodésico nos grafos de Kneser. Dado um grafo G, um conjunto W,W ⊆ V (G), é dito geodesicamente convexo se qualquer vértice em algum caminho mínimo entre u e v está em W, ∀ u, v ∈ W. O processo de detecção desses vértices é chamado de intervalo geodésico de W, denotado por I[W], e o número geodésico de G é o menor tamanho de W ⊆ V (G) tal que I[W] = V (G). Embora o problema de encontrar o número geodésico é reconhecidamente NP-difícil para grafos genéricos, mostramos que existe uma função que limita o número geodésico em grafos de Kneser.
Consultas por similaridade em Espaços Métricos apoiam tarefas computacionais que envolvem comparações por distância, e.g., recuperação por conteúdo e classificação. Esse paradigma permite utilizar índices baseados em pivôs para reduzir o número de cálculos de distância e otimizar a execução das consultas. Os índices armazenam as distâncias dos objetos da base de dados para um conjunto de elementos selecionados (i.e., os pivôs) tal que, durante uma busca, esses valores pré-computados são combinados com a desigualdade triangular para descartar objetos da resposta. Portanto, a escolha de pivôs de "boa qualidade" é determinante para o desempenho dessas estruturas. Esse estudo investiga o impacto de oito estratégias distintas de escolha de pivôs (kMEDOIDS,C-HULL, PCA, M-VARIANCE, SELECTION, S-S-SELECTION, GNAT e M-SEPARATED) aplicadas aos índices Omni kd-Tree e VP-Tree. A avaliação experimental sugere que os métodos M-VARIANCE e kMEDOIDS encontram os melhores pivôs, enquanto as estratégias GNAT e C-HULL apresentam as piores escolhas. Os resultados também sugerem que índices diferentes são, potencialmente, melhor ajustados por diferentes métodos de escolha de pivôs.
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