We consider weighted anchored and ANOVA spaces of functions with first order mixed derivatives bounded in L p . Recently, Hefter, Ritter and Wasilkowski established conditions on the weights in the cases p = 1 and p = ∞ which ensure equivalence of the corresponding norms uniformly in the dimension or only polynomially dependent on the dimension. We extend these results to the whole range of p ∈ [1, ∞]. It is shown how this can be achieved via interpolation.MSC: 65D30,65Y20,41A63,41A55
Low rank approximation of matrices has been well studied in literature. Singular value decomposition, QR decomposition with column pivoting, rank revealing QR factorization (RRQR), Interpolative decomposition etc are classical deterministic algorithms for low rank approximation. But these techniques are very expensive (O(n 3 ) operations are required for n × n matrices). There are several randomized algorithms available in the literature which are not so expensive as the classical techniques (but the complexity is not linear in n). So, it is very expensive to construct the low rank approximation of a matrix if the dimension of the matrix is very large. There are alternative techniques like Cross/Skeleton approximation which gives the low-rank approximation with linear complexity in n. In this article we review low rank approximation techniques briefly and give extensive references of many techniques.
In this paper we deal with the approximation of a given function f on [0, 1] 2 by special bilinear forms k i=1 g i ⊗ h i via the so-called cross approximation. In particular we are interested in estimating the error function f − k i=1 g i ⊗ h i of the corresponding algorithm in the maximum norm. There is a large amount of publications available that successfully deal with similar matrix algorithms in applied situations, for example in connection with H-matrices (see Boerm and Grasedyck (2003) [9] or Hackbusch (2007) [16] for many references). But as they do not give satisfactory error estimates, we concentrate on the theoretical issues of the problem in the language of functions. We connect it with related results from other areas of analysis in a historical survey and give a lot of references. Our main result is the connection of the error of our algorithm with the error of best approximation by arbitrary bilinear forms. This will be compared with the different approach in Bebendorf (2008) [6].
Die Alkalimetallhydridosilylamide R2(H)Si—N(M)R′ 1a‐Na—1d‐Na und 1a‐K—1d‐K (a: R = Me, R′ = CMe3; b: R = Me, R′ = SiMe3; c: R = Me, R′ = Si(H)Me2; d: R = CMe3, R′ = SiMe3) wurden durch Reaktion der entsprechenden Hydridosilylamine 1a—1d mit dem Alkalimetall M (M = Na, K) in Gegenwart von Styrol oder mit Alkalimetallhydrid MH (M = Na, K) dargestellt. Mit NaNH2 in Toluol reagierte Me2(H)Si—NHCMe3 (1a) nicht unter Metallierung, sondern unter nucleophiler Substitution des H(Si)‐Atoms zum Amid Me2(NaNH)Si—NHCMe3 (5). Die Reaktion von Me2(H)Si—NHSiMe3 (1b) mit NaNH2 in Toluol ergab ein Gemisch von Me2(NaNH)Si—NHSiMe3 und Me2(H)Si—N(Na)SiMe3 (1b‐Na). Die Hydridosilylamide wurden spektroskopisch charakterisiert. Die spektroskopischen Daten dieser Amide und der entsprechendenLithiumderivate werden diskutiert. Die 29Si‐NMR‐chemischen Verschiebungen und die 29Si—1H‐Kopplungskonstanten homologer Alkalimetallhydridosilylamide R2(H)Si—N(M)R′ (M = Li, Na, K) sind vom Alkalimetall abhängig. Mit Zunahme des ionischen Bindungsanteils in der M—N‐Bindung M = K > Na > Li erfahren die 29Si‐NMR‐Signale eine Hochfeldverschiebung und die 29Si—1H‐Kopplungskonstanten werden mit Ausnahme der Verbindungsreihe (Me3C)2(H)Si—N(M)SiMe3 kleiner. Von den Amiden 1a‐Na—1c‐Na und 1a‐K—1c‐K wurde das Reaktionsverhalten gegenüber Chlortrimethylsilan in Tetrahydrofuran (THF) und n‐Pentan untersucht. In THF reagieren die Amide wie die analogen Lithiumamide in hohen Ausbeuten zu den entsprechenden N‐silylierten Verbindungen Me2(H)Si—N(SiMe3)R′ (2a—2c). Die Umsetzung der Natriumamide mit Chlortrimethylsilan im unpolaren Lösungsmittel n‐Pentan ergibt aus 1a‐Na das Cyclodisilazan [Me2Si—NCMe3]2 (8a), aus 1b‐Na und 1c‐Na Gemische von Cyclodisilazan [Me2Si—NR′]2 (8b, 8c) und N‐silylierter Verbindung 2b, 2c. Im Gegensatz zu 1b‐Na und 1c‐Na sowie den analogen Lithiumamiden reagieren 1b‐K und 1c‐K mit Chlortrimethylsilan in n‐Pentan in hoher Ausbeute zu den N‐Silylierungsprodukten 2b, 2c. Das Amid [(Me3C)2(H)Si—N(K)SiMe3]2·THF (9) kristallisiert in der Raumgruppe C2/c mit Z = 4. Die zentrale Einheit des Moleküls ist ein planarer K2N2‐Vierring. Ein Kaliumatom ist durch zwei Stickstoffatome, das andere durch zwei Stickstoffatome und ein Sauerstoffatom koordiniert. Weiterhin bestehen in 9 K···H(Si)‐ und K···CH3‐Kontakte. Die K—N‐Abstände im K2N2‐Ring unterscheiden sich nur unwesentlich.
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