Números (em 1928), o qual afirma que E(Q) é um grupo abeliano finitamentegerado. O teorema de estrutura para grupos finitamente gerados garante que é possível decompor o grupo E(Q) na forma E(Q)=E(Q)_{tor}⊕Z^r, onde E(Q)_{tor} é o subgrupo de pontos de torção (elementos de ordem finito) eré um número inteiro chamado o posto de E(Q) (posto algébrico da curva elíptica, é um invariante da curva). Por outro lado, um número racional é dito congruente se ele representa a área de um triângulo retângulo cujos lados são números racionais. O problema dos Números Congruentes consiste precisamente em determinar se um dado número racional é congruente ou não. Neste trabalho apresentamos este problema e discutimos um resultado que estabelece a relaçãoentre Números Congruentes e Curvas Elípticas.
IntroduçãoImaginemos uma coleção de balas de canhão empilhadas em forma de pirâmide de base quadrada com uma bala na camada superior, quatro balas na segunda camada, nove balas na terceira camada e assim por diante. Se o empilhamento colapsar,é possível reorganizar as balas em uma base quadrada?Vamos analisar primeiro os casos mais simples. Se não existir nenhuma bala, se tem uma pirâmide de altura zero e um quadrado zero por zero. Se existir umaúnica bala, esta forma uma pirâmide de altura um eé um quadrado um por um. Além destes casos triviais, existirão outros? Se a pirâmide tiver três camadas, então o rearranjo nãoé possível já que existirão 1 + 4 + 9 = 14 balas e 14 nãoé um número quadrado perfeito. O objetivo deste trabalhoé apresentar uma solução geral accessível a este problema.Em 1875, E. Lucas [7], desafiou aos leitores da revista Nouvelles Annales de Mathématique a provar o seguinte problema:"Uma pirâmide quadrada de balas de canhão contém um número quadrado perfeito de balas de canhão unicamente se tem 24 balas de canhão ao longo de cada fileira em sua base".Em outras palavras, Lucas afirmou que aúnica solução (em números naturais) da equaçãoe x = 24 e y = 70. Aqui x representa a número de balas de canhão por camada e y o número total de balas, o qual deve ser um número quadrado perfeito. Observe que a equação acimaé equivalenteà cúbicax(x + 1)(2x + 1) = 2x 3 + 3x 2 + x = 6y 2 , a qual representa uma Curva Elíptica [11]. Para introduzir o problema e discutir sua solução, apresentamos a seguir uma breve história dessa equação Diofantina e na próxima seção apresentaremos a solução mencionada linhas acima.
Resumo. Um clássico resultado da Teoria das Curvas Elípticas definidas sobre o corpo dos números racionais Qé o Teorema de Mordell-Weil o qual afirma que se Eé uma curva elíptica sobre Q, então o conjunto de pontos racionais E(Q)é um grupo abeliano finitamente gerado. O teorema de estrutura para tais grupos garante que E(Q) ∼ = T ⊕ Z r , onde Té o subgrupo de torsão (finito) e r ≥ 0é um inteiro, o posto de E(Q). Neste trabalho apresentamos esse teorema, outros resultados necessários e mostraremos dois exemplos de como determinar o número r. Palavras-chave. Curva elíptica, subgrupo de torsão, posto de uma curva elíptica, pontos racionais. Teorema 1.1. (Teorema de Lutz-Nagell): Seja a curva elíptica E dada por y 2 = x 3 + Ax + B, com A, B ∈ Z. Seja P = (x, y) ∈ E(Q) de ordem finito. Então x, y ∈ Z. Se y ̸ = 0, então y 2 |4A 3 + 27B 2 .
ResumoNeste trabalho apresentamos um modelo de Curva Elíptica definida sobre um Corpo Primo. Nas primeiras seções fazemos um estudo preliminar das Curvas Elípticas e Corpos Finitos, em especial os Corpos de Galois, onde são definidas as operações de adição na curva elíptica em cada caso (dependendo da característica do corpo em questão). Naúltima seção apresentamos um modelo de Curva Elíptica definida sobre F 23 .Palavras Chave: Curva Elíptica, Corpo Finito, Corpo Primo, Equação de Weierstrass, característica de um corpo. IntroduçãoA Teoria das Curvas Elípticasé um dos mais belos assuntos da Matemática e tem aplicações em diversasáreas, como por exemplo em, Geometria Diferencial (Superfícies Mínimas), Teoria dos Números (último Teorema de Fermat, Teorema de Wiles-Taylor), Geometria Algébrica sobre Corpos Finitos (Teorema de Hasse-Weil, Hipótese de Riemann) e Criptografia (senhas, autenticações, assinaturas digitais, etc.)As curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (polinômios de grau 3). Tem sido usadas para provar oúltimo Teorema de Fermat e se empregam também em Criptografia e em Fatoração de Inteiros. Estas curvas não são elipses. As curvas elípticas são "regulares" ou "não-singulares", o que significa que não têm "cúspides" nem auto-intersecções, e pode-se definir uma operação binária no conjunto de seus pontos de uma maneira geométrica natural, o que fornece a este conjunto uma estrutura de grupo abeliano.As curvas elípticas podem definir-se sobre qualquer corpo K. Se a característica de K nãoé nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre K pode-se escrever na formaonde a e b são elementos de K, com △ = 4a 3 +27b 2 ̸ = 0 (discriminante não-nulo), de modo que o polinômio x 3 +ax+b não tenha nenhuma raiz dupla. Se a característica for 2 ou 3 será necessário considerar mais termos na equação acima. Normalmente se define uma curva algébrica como o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem a equação acima dada, tais que x e y sejam elementos do fecho *
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