A nonautonomous SIRVS model with time‐dependent parameters is considered. The global dynamics is investigated, and conditions for the permanence, extinction, and disease‐free equilibrium are studied. Substitute quantities that replace the basic reproduction number are presented. Numerical simulations illustrate the dynamic behavior of the proposed model. Copyright © 2012 John Wiley & Sons, Ltd.
Resumo: O objetivo principal deste trabalhoé analisar a presença de duas escalas distintas de tempo em um modelo metapopulacional do tipo presa-predador, discreto no tempo e no espaço. Inicialmente, analisamos duas situações: presas com dinâmica vital mais rápida do que predadores e vice-versa. Verificou-se que esta consideração de mais de uma escala de tempo para a reprodução das espécies modifica a região de estabilidade das soluções de equilíbrio de coexistência, altera as densidades das duas espécies e o tipo de soluções observadas. A seguir, considera-se uma metapopulação, ou seja, as duas espécies distribuem-se em sítios e ocorre migração. Essa migração ocorrerá de forma coerente com a escala de reprodução. A consideração de estrutura espacial também altera as predições do modelo. Palavras-chave: Diferentes escalas de tempo, Metapopulação, Sistema presa-predador IntroduçãoEm sistemas biológicos pode ocorrer que uma das espécies se reproduza em intervalos de tempo diferentes daqueles da outra espécie. Na natureza encontramos muitos exemplos de interações nas quais uma espécie reproduz-se em intervalos de tempo menores do que a outra: podemos citar joaninhas predando afídeos [2], doninhas atacando pequenos roedores [6], controle da cochonilha vermelha (Aonidiella auranti) pelo parasitóide Aphytis melinus [4].Kindlmann e Dixon [2] argumentam que o efeito na densidade populacional de presasé inversamente relacionado ao tempo de desenvolvimento do predador. Em termos biológicos, essa teoria prediz que, dada uma espécie de presas e dois predadores diferindo apenas nos tempos de desenvolvimento, o predador com tempo de desenvolvimento mais longo terá menos efeitos na abundância de presas . Kindlmann et al. [3] relatam testes realizados em campo que trazem resultados de acordo com a hipótese descrita acima.Assim, neste trabalho propomos um modelo presa-predador discreto com crescimento das presas dependendo da densidade em que a reprodução das espécies ocorre em escalas diferentes de tempo. Analisamos duas situações: presas possuem dinâmica mais rápida do que predadores e vice-versa.Os trabalhos de Rodrigues et al. [7] e Andrade [1] analisam um modelo presa-predador discreto com dinâmica da presa mais rápida que a dinâmica do predador.É observado que as densidades das presas diminuem quanto maior a diferença entre as escalas de reprodução das duas espécies, o que não está de acordo com as conclusões e testes em campo de Kindlmann e Dixon [3]. Neste trabalho será proposto um modelo diferente, em que a predação ocorre de acordo com a média das densidades de presas nas gerações intermediárias e não de acordo com a soma das densidades nessas gerações comoé feito em [7] e [1].Os estudos de dinâmicas populacionais têm cada vez mais levado em conta a distribuição espacial das espécies. Rohani e Ruxton [8] discutem sistemas com mais de uma espécie e chegam a resultados de que a extrema assimetria nas frações de dispersão entre as duas espécies, pode
A non-autonomous SIRVS epidemic model, with incidence rates are represented by functions ϕ(t, S)I and ψ(t,V )I, where S, I and V stand for the Susceptible, Infective and Vaccinated populations respectively, is proposed. The global dynamics of the system is investigated and sufficient conditions for the permanence and extinction of the infection are obtained. In particular numbers to measure the force of infection in terms of the threshold conditions are provided. Numerical simulations are performed to validate the analytical theory. Examples with periodic functions are used to describe phenomena of common diseases.
Exposição e formulação problemaConsidere n sítios numerados de 1 a n. Em cada um desses sítios existe uma população de umaúnica espécie a qual denotamos de população local, ou subpopulação. Esses sítios estão cercados por um ambiente hostil e inadequado para a sobrevivência e persistência da espécie. A cada geração (a cada passo de tempo), essas populações passam por dois processos distintos: a dinâmica local, composta pela reprodução e sobrevivência e a dispersão 1 (migração). Supomos que a dinâmica local precede a migração.A taxa de reprodução intrínseca r depende do tempo, ou seja, r t+1 = g(r t ), onde ré a taxa de reprodutividade intrínseca da população e gé uma função suave dada. Logo, a função f que incorpora os processos de reprodução e sobrevivência possui duas variáveis dependentes do tempo, a saber, x e r, eé definida comot ≥ 0, i = 1, ..., n, onde f representa uma função suave definida em [0, ∞). Após transcorrido o processo de reprodução e sobrevivência, temos o início do processo migratório. A cada tempo t, após a dinâmica local, uma fração µ de indivíduos deixa um dado sítio e migra para outros sítios mais próximos. Trabalharemos com a migração independente da densidade tal que 0 ≤ µ ≤ 1.1 Ambas as palavras migração e dispersão serão denotadas para descrever os movimentos de um sítio para o outro, portanto, não há diferença entre elas.
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