For Coxeter groups of extra large type, the power conjugacy problem for words and the problem of intersection of cyclic groups are solved; for the second problem we suggest an algorithm which for two elements finds the generator of the intersection of their cyclic subgroups.A group G defined by the system of generators a i , i 2 J , jJ j < 1, and the system of defining relations a 2 i D 1 for all i 2 J , .a i a j / m ij D 1, i ¤ j , i; j 2 J , m ij is an element of the Coxeter matrix .m ij /, i; j 2 J , corresponding to the given group [1], m ij 3 for i ¤ j , is called a Coxeter group of large type. In the case where m ij > 3, this group is called a Coxeter group of extra large type.The problems of equality and conjugacy of words in the Coxeter groups of large and extra large types are solved in [1,2].In this paper, we solve the power word conjugacy problem in the Coxeter groups of extra large type. For this class of groups, we solve the problem on intersection of cyclic subgroups.Let F i D ha i I a 2 i i, F D Q n i D1 F i be the free product of cyclic groups of order 2. We identify each generator a i of the group F with inverse element a 1 i . The word w D a i 1 : : : a i n of the group F is called reduced if the indices of neighbouring letters a i j and a i j C1 in the word w differ; the length of w is equal to n. Let m ij < 1 and r ij D .a i a j / m ij , then F contains exactly two different permutations r ij : r ij D .a i a j / m ij and r j i D .a j a i / m ij i ¤ j . We denote by F ij the group F ij D F i F j and by G ij the Coxeter group of extra large type G ij D ha i ; a j I a 2 i ; a 2 j ; r ij ; r j i i. We denote by R ij the set of all nontrivial words cyclically reduced in the free product F ij and equal to 1 in the group G ij , R ij D fr l ij ; r m j i g, l; m 2 N (see [2]). An element r 2 R ij will be referred to as a relation of type .i; j /.In what follows, by R is meant the symmetrised subset R D S i;j 2J R ij of the free product F . Then a Coxeter group can be defined by the representation G D ha i I a 2 i ; R; i D 1; : : : ; ni. Let w be a nontrivial cyclically reduced in F word equal to one in the Coxeter group G of extra large type, that is, w 2 hRi F , where hRi F is the normal closure of the symmetrised set R in the free product F . Taking into account that
Для групп Кокстера большого типа решена проблема обобщенной сопряженности слов, доказано, что централизатор конечно порожденной подгруппы конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие. Показано, что в общем слу чае централизатор конечно порожденной группы не является циклическим. Построен пример группы данного класса, не являющейся гиперболической группой. Работа выполнена при поддержке Министерства образования России, грант РД 02-1.1-209. Группа G, заданная системой образующих я/, / е J, \J\ < oo, и системой определяющих соотношений af = 1 для всех i e J\ (aiaf)™" = 1, i ф у, /, j е /, тц-элемент матрицы Кокстера (ш/Д /, j e J, соответствующей данной группе (см. [1]), причем niij ^ 3 для i ф j, называется группой Кокстера большого типа. В случае niij > 3 имеем группу Кокстера экстра большого типа. Теорема 1 ([1]). В группах Кокстера экстра большого типа разрешима проблема сопря женности слов. Нашей целью является решение проблемы обобщенной сопряженности слов и описа ние централизатора конечно порожденной подгруппы в группах Кокстера большого типа. Проблема сопряженности слов для данного класса групп решена авторами в [2]. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий установить, существует ли такое z e G, чт° &?=I(Z~"1M; / Z = vt) для любых двух конечных множеств слов {u;/} /== i v .. 5 ", {i>/}/=i,...," из G. Пусть Ft = (ai;aj), F = ^" =l F/-свободное произведение циклических групп порядка 2. Отождествим каждый образующий а\ группы F с его обратным aj x. Слово w = at { ... a hx группы F называется приведенным, если индексы рядом стоящих букв а,-, и cii j + l записи w различны; длина w равна п. Пусть niij < оо и rij-(aiUj) mi J, тогда в F существуют в точности две различные перестановки г if. rij = (a,-a y-) m 'V и г,- ,-= (я ; я/) т, Л / ф /. Обозначим через F /y группу Fy = F/ * Fj, через G/ 7 группу Кокстера большого типа G u = (ai,aj;a^aj,rij,rji). Лемма 1. Если слово w e Gij, w = 1 в Gij и w ф 1 в F^, то \w\ ^ т^, где \w\-длина слова w.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.