Verhalten der Zetafunktion auf einer vertikalen Gerade'n w ~. Arithmetisch-geometrische Hilfsmittel. w 2. Erster I-Iauptsatz. Wahrscheinliehkeitsverteilungen auf vertikalen'Geraden. Zweiter Tell: Das Verhalten der Zetafunktion in einem vertikalen Streifen w 3. Analytisehe Vorbereitungen. w 4. Erste Anwendung der Hilfssgtze auf die Zetafunktion. w 5. Zweiter Hauptsatz~ Wahrseheinliehkeitsverteilungen in vertikMen Streifen. w 6. Anwendung des ersten Hauptsatzes zum Beweis eines Hilfssatzes.. w 7. Beweis 0es zweiten Hauptsatzes. Anhang. Die Beziehung der Zetafunktion zum Eulerschen Produkt.Sehlussbemerkung.
Einleitung.Die RI~MANNsche Ze~afunktion ~(s) ist bekanntlich eine in der g~nzen Ebene der komplexen u s=a+it definierte eindeutige Funktion, die bis
VONHARALD BOHR und B (~RGE JESSEN in KOPENHAGEN. (Erste Mi~teilung. Das Verhalten der Funl~ion in der Halbebene 0> I .)
InhaltsUbersicht.Einleitung.Erster Teil. Das Verhalten der Zetafunktion auf einer vertikalen Geraden a=eo(> ~).w i. Excurs iiber die Methode. w w Zweiter w w w w w 2. Versch~irfung der Hilfsmittel. 3. Erster Hauptsatz. Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf vertikalen Geraden. Teil. Das Verhalten der Zetafunktion in einem vertik. Streifen (~<) a~<(~, a~. 4. Analytische Vorbereitungen. 5. Erste Anwendung tier Hilfss~itze auf die Zetafunktion. 6. Zweiter ttauptsatz. Wahrscheinlichkeitsverteilungen in vertikalen Streifen. 7. Anwendung des ersten Hauptsatzes zum Beweis eines Hilfssatzes. 8. Beweis des zweiten Hauptsatzes. Einleitung. ~ Die RIE~ANNsche Zetafunktion ~(s) ist eine in der ganzen Ebene der komplexen Ver~nderlichen s:a+ it definierte eindeutige Funktion, die bis auf den einen Pol s ~-I ers~er Ordnung regular ist. In der Halbebene a > I is~ die Funktion durch die beiden gleichwer~igen Darstellungen 1 Eine programmi~ssige Skizze der Untersuchungen, die jetzt genau ausgefiihrt werden, ist in einem Vortrag yon H. BOHR: Hber diophantische Approximationen und ihre Anwendungen auf Dirichletsehe Reihen, besonders auf die Riemannsche Zetafunktion, Fiinfter skandinavischer Mathematikerkongres, Helsingfors I922 , gegeben worden. 1--29643. Acta mathematica. 54. Imprim6 le 11 f6vrier 1930.
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