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A. Larman und P. Mani gemeinsam und von mir unabhangig gefunden wurde 1. Ein anderer Hauptfall liefert mit Hilfe eines Satzes von W. Mader in [3] die Existenz einer ganzzahligen Funktion f(n), so dab jeder f(n)-fach zusammen-h~ingende endliche Graph eine Unterteilung U((n)) des vollst~indigen Graphen (n) als Teilgraph enthiilt, wobei die ,,Hauptecken" der Unterteilung beliebig vorgegeben werden diirfen.Im zweiten Teil wird ein Spezialfall des allgemeinen Begriffs n~iher untersucht. Das Ergebnis dieses Teils besagt, dab jeder 4fach zusammenh~ingende endliche Graph G = (E, K) ohne Mehrfachkanten, in dem zu je 4 verschiedenen Ecken el, e~, e2, e~ in G zwei fremde Wege zwischen ex und e~ bzw. zwischen e 2 und e~ existieren, entweder nicht pl~ittbar ist oder 31E[-6= IKI erffillt. Dieses Ergebnis wurde von M. E. Watkins in [6] vermutet, yon P. Mani und mir unabh~ingig bewiesen 1.

Einleitung Jung, WurzelbBurne und unendliche Wege in Graphen die Menge der e E E ( G ) -E(G'), die mit einem e' E E(G') verbunden sind. Eine Folge e,, . . ., e,(n 2 1) von lauter verschiedenen Ecken aus G heiBt Weg in G , wenn {ev, eYcl) E K ( G ) (v = 1, . . ., n -1). Entsprechend sind einseitig und zweiseitig unendliche Wege definiert, die wir kurz I-Wege bzw. 2-Wege nennen. Fur den I-Weg W : e l , e2, . . . heifit jeder I-Weg e N , eAv+ . . . ( N 2 1) ein Rest von W . Mit E ( W ) sei die Menge der Ecken von W (W Weg oder I-Weg oder 2-Weg) bezeichnet. Fur I-Wege W , W in G werde W -c W gesetzt, wenn es unendlich viele fremde Wege in G gibt, die auf W beginnen und auf W enden. Nach [2] ist -G Aquivalenzrelation. Die Aquivalenzklassen werden Enden von G genannt. e E E (a) heiBt W-kritisch in G ( W I-Weg in G), wenn es unendlich viele von e ausgehende und bis auf e fremde Wege gibt, die auf W enden. W heil3t Hauptweg in G, wenn fur jeden I-Weg W in G mit W -c W die Menge E ( W ) n E ( W ) unendlich ist und jede W-kritische Ecke schon auf W liegt.

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It has been conjectured by P. Erd6s that any graph G with chromatic number z(G)=5 contains as subgraphs either two odd independent (i.e. vertex-disjoint) circuits or a (5). (For any integer r, (r) wilt denote any complete graph with r vertices.) In this paper we shall prove this conjecture; indeed we shall prove some stronger results, in part also conjectured by P. Erd6s.