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Fractional calculus has been widely used in mathematical modeling of evolutionary systems with memory effect on dynamics. The main interest of this work is to attest, through a statistical approach, how the hysteresis phenomenon, which describes a type of memory effect present in biological systems, can be treated by fractional calculus. We also analyse the contribution of the historical values of a function in the evaluation of fractional operators according to their order. To illustrate the efficiency of this non-integer order calculus, we consider the SIR (susceptible-infected-recovered) compartmental model which is widely used in epidemiology. We employ this compartmental model to study the dynamics of the spread of COVID-19 in some countries, one version with memory and one without memory.

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Resumo. Via de regra um modelo de dinâmica populacional envolve estudo da variação na quantidade de indivíduos de uma determinada população. As soluções desses sistemas são processos temporais, com ou sem memória, i.e., o presente está corralacionado ou não com o futuro. No nosso caso, propomos modelos de dinâmica populacional que são descritos por processos fuzzy autocorrelacionados, ou seja, apresentam interatividades locais modelada por meio da teoria de conjuntos fuzzy. Nesse sentido, veremos que em um problema de valor inicial com incerteza, saber que o campoé negativo nãoé suficiente para obter uma solução decrescente. Além disso,é preciso adotar certo controle na taxa de variação eé isso que faremos neste trabalho.Palavras-chave. Dinâmica Populacional, interatividade, processos fuzzy autocorrelacionados. PreliminaresNeste trabalho iremos considerar processos autocorrelacionados em que a correlaçãó e dada a partir da teoria de conjuntos fuzzy. Assimé necessário enunciarmos alguns conceitos preliminares. Definição 1.1. Um número fuzzy Aé um subconjunto fuzzy de R com função de pertinência semi-contínua superiormente, fuzzy convexa e normal µ A : R → [0, 1], e com suporte compacto.

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This paper presents a new operation of multiplication between linearly correlated fuzzy numbers based on the concept of cross product, set for fuzzy numbers in general. It is proved that this operation is closed in the set of linearly correlated fuzzy numbers. Some properties of the multiplication are listed, and an application on the delayed logistic model, the Hutchinson equation, is provided when considering the population an autocorrelated fuzzy process. Lastly, an analysis of the stability of the solution and biological interpretations are established.