In this paper we describe how to use the algorithmic methods provided by Hunter and Pohst in order to give a complete classification of number fields of degree 8 and signature (2, 3) with absolute discriminant less than a certain bound. The choice of this bound comes from the local corrections given by prime ideals to the lower estimates for discriminants obtained with the Odlyzko-Poitou-Serre method.
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We give upper bounds for the number of rational elliptic surfaces in some families having positive rank, obtaining in particular that these form a subset of density zero. This confirms Cowan's conjecture [Cow20] in the case m, n ≤ 2. 2020 Mathematics Subject Classification. 11G05, 14G05. Key words and phrases. Rational elliptic surface, rank, elliptic curves, rational points. 1 Cowan stated the conjecture for the Mahler measure µ, mentioning that one could also choose the height instead. By the inequalities n [n/2] −1 P ≤ µ(P ) ≤ √ n + 1 P for P of degree n (see [BG06, Lemma 1.6.7]) the two choices are equivalent.
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