Le calcul des coefficients des approximants de Pad~ a connu un grand d~veloppement ces derni~res ann~es, comme en t~moignent les papiers de Claessens [9], Bussonnais [8] et Graves-Morris [18]. Jusqu'~ un pass~ r~cent, les schemas de calcul r~cursif comme ceux de Baker [I] ou Brezinski [2] supposaient la normalit~ de la table de Pad~, mais divers travaux (Claessens et Wuytack [101, Cordellier El3], McEliece et Shearer [19], Bultheel [3-7]) ont montr~ que l'on pouvait presque toujours s'affranchir de cette restriction. Cela est d~ ~ ce que les classiques identi-t~s de Frobenius sur lesquelles s'appuient les algorithmes r6cursifs se g~n~ralisent le plus souvent au cas des tables non normales. On montre en [13] par exemple qu'il suffit de consid~rer la table des formes de Pad~ (d~finie en ~16]) au lieu de la table des fractions r~duites pour ~tendre les identit~s de Frobenius sur lesquelles repose l'algorithme de Baker. Le calcul des valeurs ponctuelles des approximants de Pad~ repose essentiellement sur la liaison entre la table des valeurs et le tableau associ~ ~ la mise en oeuvre de la transformation Ek(Sn) de Shanks [21]. Cette liaison a ~t~ ~tablie par Shanks dans le cas de la moiti~ inf~rieure de la table. Apr~s avoir montr~ que l'e-algorithme [22] assurait une mise en oeuvre efficace de la transformation Ek(S n) Wynn [23] a montr~ que cet e-algorithme permettait de calculer toutes les valeurs de la table de Pad~. Cette liaison a par ailleurs permis ~ Wynn de mettre en ~vidence une identit~ [257 qui lie 5 approximants de Pad~ voisins, identit~ que Gragg [17]appelle "the missing identity of Frobenius". Bien que les r~gles particuli~res E24] permettent de ca!culer les valeurs ponctueiles de tables de Pad~ non normales dans certains cas particuliers (blocs de taille n'exc~dant pas 2), la maintenant classique identit~ de Wynn n'est valable que pour des ~l~ments normaux d'une table de Pad~. En pr~sentant los r~gles singuli~res g~n~ralis~es pour l'e-algorithme vectoriel [ii], l'auteur a signal~ que l'identit~ de Wynn se g~n~ralise assez simplement aux tables de Pad~ non normales. Toutefois la preuve (non publi~e) qui en a ~t~ donn~e repose sur des propri~t~s topologiques et des propri~t~s d'invariance dans des transformations anallagmatiques (conservation du birapport), et elle consiste essentiellement en l'application du classique th~or~me de prolongement par continuitY. C'est pour
INTRODUCTIONNous pr~sentons ici quelques r~sultats topologiques ~l~mentaires relatifs aux plus simples des transformations non lin~aires de suites de nombres complexes, les proc~d~s 8 2 d'Aitken [i] et W de Lubkin [9]. Bien que l'objectif majeur de telles transformations soit presque toujours l'acc~l~ration de la convergence des suites auxquelles elles sont appliqu~es, nous ne nous int~ressons pas ici ~ cette question et nous nous restreignons aux autres propri~t~s topologiques de ces transformations, savoir :• la r~gularit~, c'est-~-dire la conservation de la convergence et de la limite,• la quasi-r~gularit~, c'est-~-dire la conservation de la limite d~s qu'il y a celle de la convergence,• la compatlbilit~ de deux proc~d~s, c'est-~-dire l'identit~ des antilimites de la m~me suite fournies par deux proc~d&s distincts.Le paragraphe qui suit est consacr~ ~ la presentation des notations et ~ la d~finition de concepts g~n~raux, tels que le noyau, le domaine de r~gularit~ ou d'acc~-l~ration d'une transformation de suites tandis que le troisi~me consiste en la description des proc~d~s ~l~mentaires ~tudi~s. Les trois derniers sont respectivement destines l'~tude des trois propri~t~s pr~cit~es.Dans le paragraphe 4 relatif ~ la r~gularit~, nous commengons par montrer qu'une vaste classe de proc~d~s non lin~aires ne jouit pas de la classique propri~t~ de r~gularit~. Ceci nous conduit ~ caract~riser les suites convergentes transform~es par un proc~d~ donn~ en suites convergentes de m~me limite, suites dont l'ensemble sera appel~ domalne de r~gularit~ du proc~d&, mais nous ne cherchons pas ici ~ mettre en ~vidence des classes de suites incluses dans un tel domaine de r~gularit~ comme l'on fair Lubkin [9], Gray, Clark et Adams [3], Tucker [15] ou l'auteur [5]. Dans le paragraphe suivant nous traitons de la quasi-r~gularit~ que Lubkin [9] avait introduite dans le cas du proc~d~ 8 2 appliqu~ ~ des suites de r~els. Tucker [15] a ~tendu ce r~sultat aux suites de complexes tandis que Rice [13] l'~tablissait pour un proc~d~ similaire en lui donnant le nom de "joint convergence". Nous montrerons ici que le pro-c~d~ W de Lubkin est quasi-r~gulier pour les suites de no~res r~els. Notons en passant 21 que la quasi-r~gularit~ de la transformation E k de Shanks [14] est une consequence immediate d'un r~sultat de Montessus de Ballore [i0] relatif ~ la convergence ponctuelle d'approximants de Pad~ ; malheureusement la d~monstration de ce dernier r~sultat est sujette ~ caution et, pour k ~ 2, la quasi-r~guiarit~ de E k n'est encore qu'une conjecture. Dans le 6~me et dernier paragraphe nous montrons que si les deux proc~d~s 62 et W transforment une suite divergente en une suite convergente, alors les limites des suites transform~es sont les m@mes. Cette question de la compatibilit~ des limites de suites transform~es par des proc~d~s non lin~aires ne semble pas avoir ~t~ abord~e jusqu'~ pr6sent.
The aim of this paper is to give a singular rule for the vector e-algorithm.This singular rule avoids a too rapid growth of rounding errors when applying the vector e-algorithm. Another rule is given which works when two adjacent vectors are equal.
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