Let K be a field and let U T n = U T n (K) denote the associative algebra of upper triangular n × n matrices over K. The vector space of U T n can be given the structure of a Lie and of a Jordan algebra, respectively, by means of the new products: [a, b] = ab − ba, and a • b = ab + ba. We denote the corresponding Lie and Jordan algebra by U T − n and by U T + n , respectively. If G is a group, the G-gradings on U T n were described by Valenti and Zaicev (Arch Math 89(1):33-40, 2007); they proved that each grading on U T n is isomorphic to an elementary grading (that is every matrix unit is homogeneous). Also Di Vincenzo et al. (J Algebra 275(2):550-566, 2004) classified all elementary gradings on U T n. Here we study the gradings and the graded identities on U T − n and on U T +
In this dissertation we study the mean curvature flow in Euclidean spaces from the analytic and geometric point of view. We deal initially with short-time existence and regularity of a solution for second order quasilinear parabolic equations on Riemannian manifolds, which is essential to guarantee the short-time existence of a smooth solution to the mean curvature flow. In a second part, we present some results concerning the behavior of the evolving hypersurface close to the maximal time of existence of a smooth solution, by means of Maximum Principles and evolution equations of the associated geometric components. Close to this maximal time, we analyse the formation of singularities of Type I by means of rescalings and Huisken's Monotonicity Formula, and of Type II by means of a blow-up technique due to Hamilton. In particular, we reserve the case of curves to a separate chapter, where we present some classical results in curve-shortening flow theory. ResumoNesta dissertação realizamos um estudo sobre o fluxo de curvatura média em espaços Euclidianos sob as perspectivas analítica e geométrica. Tratamos inicialmente da existência e regularidade de soluções em tempos pequenos de equações parabólicas quase lineares de segunda ordem em variedades Riemannianas, o que é essencial para garantirmos a existência de uma solução suave em tempo pequeno do fluxo de curvatura média. Em uma segunda parte, passamos a alguns resultados sobre o comportamento no intervalo maximal de existência de uma solução suave da hipersuperfície em evolução, por meio de equações das componentes geométricas associadas e de Princípios de Máximo. Próximo desse tempo maximal, analisamos a formação de singularidades do Tipo I por meio da Fórmula de Monotonicidade de Huisken e de rescalings, e do Tipo II por meio de uma técnica de blow-up devida a Hamilton. Em especial, reservamos o caso de curvas a um capítulo a parte e apresentamos resultados clássicos da teoria de curve-shortening flows. vii viii Definição 1.1.3. O espaço LW a,0 (M) é o completamento de C ∞ c (M × (0, +∞)) com respeito à norma de LW a (M). Se u ∈ LW a,0 (M), dizemos que u(•, 0) = 0 no sentido dos traços em LW a .Convenientemente definimos:como a forma bilinear dada por P(u, φ ) = 2a +∞ 0 e −2at M φ u dµdt − +∞ 0 e −2at M φ t u dµdt + +∞ 0 e −2at M B(u, φ ) dµdt; • K : C ∞ c (M × (0, +∞)) → R como o funcional linear definido por K(φ ) = +∞ 0 e −2at M φ b dµdt. Com esta nova notação, vemos que u ∈ LW a,0 (M) é uma solução fraca de (1.2) se P(u, φ ) = K(φ ) para qualquer φ ∈ C ∞ c (M × (0, +∞)). Antes de apresentarmos o resultado de existência local, vamos demonstrar um resultado bastante útil ao obtermos estimativas envolvendo o operador L, o qual será usado no decorrer deste capítulo. Lema 1.1.4. (Desigualdade de Gårding) Se Lu = Lu − b, então existe C > 0, dependendo apenas das normas C 1 de Q i j , R k e S, tal que para todo u ∈ C ∞ (M × [0, ∞)) e para todo t ≥ 0, temos
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