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in Bloo~nington, Ind. (USA.), (Eingegangen am 10.7. 1950.) 8 I. Einfiihrung. Die Punkte des n-diniensionulen Raunies seien mit x bezeichnet ; xl, x2, . . . , zn &en die Roordinaten in eineni festen cartesischen Koordinntensystem. ax = dx,dx, . dx, bezeichne das Volumenelement im x-Rnum. u ( x , t ) sei ein xeitlich veranderliches, in eirier offenen Menge G des x-t-Raumes erkliirtes Vektoifeld mit den Komponenten u i in jenem Koordinatensystem. l m folgenden wird nicht verlsngt, dal3 Cl zusanimenhangend ist, und wir werden nur der I.Qii*ze der Benennung halber von Gebieten sprechen. Gebiete im x-Raum werden mit Q, solche iin x-t-Rnum mit G bezeichnet. Die Divergenzfreiheit eines in einem x-t-Gebiete G stetig x-differenzierbaren Velctorfeldes u(x, t ) ist durch dm Erfiilltsein der l~ifferentialgleichung 4 4 4 4 gekennzeichnet. Wir beniitzen durchweg die ubliche Suminationsvorschrift ohne Gebrauch des fhminenzeichens. Man kennt aber auch eine differentiallose Klennzeichnung der Divergenzfreiheit. Wir sagen, dnl3 eine in einem x-t-Cebjete CT definierte, skalare oder vektorwertige kunktion v(x, t ) in zur Klasse N gehort, falls v = 0 t~ul3erhalb einer passenden kompaliten Teilmenge dieses Gebietes gilt. Die Funktionen dieser im folgenden oft gebrauchten Klasse vermhwinden also in einem Randstreifen von a. Jene liennzeichnung ist dann: Fiir die Divergenzfreiheit in Q! eines in Q stetig x-differenzierbaren Feldes u(x, t ) ist es notwendig und hinreichend, daIj 4 4 4 A 4 4 fur jede in a eindeutige und iiiitsurrit i hren x-Ableitungen stetige Funktion la($, t ) gilt, die in G zur IClasse N gehort. Diese Tntsache ist eine Folge des G a dschen htegralse tzes, der wegen h E N in G nnwendbar ist, und des Fundamental-A 4

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The present note contains the proof of the following THEOREM. Let S be a closed surface of class C"' in the sense ofRiemannian geometry. If no geodesically conjugate points exist on S the total curvature of S must be negative or zero. In the latter case the Gaussian curvature must vanish everywhere on S.From the second part of the theorem and from known facts one infers: if S is the topological image of the torus or of the Klein bottle and if F contains no geodesically conjugate points S must be the one-to-one and isometric image of a Euclidean model of such a surface. This second part of the theorem also forms the subject of a recent paper by Morse and Hedlund.' These authors prove the theorem under an additional hypothesis about S (non-existence of focal points on S) and raise the question if the theorem holds true without this restriction.The idea underlying the proof for the first part of the theorem had been outlined in a previous paper by the author.2 It was found that only little additional remarks are required to make the proof cover the entire theorem. In the present note the proof will be developed ab ovo.Proof of the Theorem. Consider the Jacobi differential equation of normal variation y"(s) + K(s)y(s) = 0 (1) (K = curvature) along an arbitrary oriented geodesic on S. The direction of increasing arc length is always chosen as to coincide with the direction of the geodesic. The solutions of (1) are well known to exist on the whole axis of s. Non-existence of conjugate points means: any non-trivial solution of (1) possesses at most one zero, any two non-identical solutions intersect at most once. Let