The computation of the greatest common divisor (GCD) of a set of polynomials has interested the mathematicians for a long time and has attracted a lot of attention in recent years. A challenging problem that arises from several applications, such as control or image and signal processing, is to develop a numerical GCD method that inherently has the potential to work efficiently with sets of several polynomials with inexactly known coefficients. The presented work focuses on : (i) the use of the basic principles of the ERES methodology for calculating the GCD of a set of several polynomials and defining approximate solutions by developing the hybrid implementation of this methodology. (ii) the use of the developed framework for defining the approximate notions for the GCD as a distance problem in a projective space to develop an optimization algorithm for evaluating the strength of different ad-hoc approximations derived from different algorithms. The presented new implementation of ERES is based on the effective combination of symbolic-numeric arithmetic (hybrid arithmetic) and shows interesting computational properties for the approximate GCD problem. Additionally, an efficient implementation of the strength of an approximate GCD is given by exploiting some of the special aspects of the respective distance problem. Finally, the overall performance of the ERES algorithm for computing approximate solutions is discussed.

Citation: Christou, D., Karcanias, N. & Mitrouli, M. (2014). Matrix representation of the shifting operation and numerical properties of the ERES method for computing the greatest common divisor of sets of many polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics, 260, pp. 54-67. doi: 10.1016/j.cam.2013.09.021 This is the unspecified version of the paper.This version of the publication may differ from the final published version. Permanent AbstractThe Extended-Row-Equivalence and Shifting (ERES) method is a matrixbased method developed for the computation of the greatest common divisor (GCD) of sets of many polynomials. In this paper we present the formulation of the shifting operation as a matrix product which allows us to study the fundamental theoretical and numerical properties of the ERES method by introducing its complete algebraic representation. Then, we analyse in depth its overall numerical stability in finite precision arithmetic. Numerical examples and comparison with other methods are also presented.

This is the accepted version of the paper.This version of the publication may differ from the final published version. Permanent repository link AbstractThe computation of the Greatest Common Divisor (GCD) of a set of polynomials is an important issue in computational mathematics and it is linked to Control Theory very strong. In this paper we present different matrix-based methods, which are developed for the efficient computation of the GCD of several polynomials. Some of these methods are naturally developed for dealing with numerical inaccuracies in the input data and produce meaningful approximate results. Therefore, we describe and compare numerically and symbolically methods such as the ERES, the Matrix Pencil and other resultant type methods, with respect to their complexity and effectiveness. The combination of numerical and symbolic operations suggests a new approach in software mathematical computations denoted as hybrid computations. This combination offers great advantages, especially when we are interested in finding approximate solutions. Finally the notion of approximate GCD is discussed and a useful criterion estimating the strength of a given approximate GCD is also developed.

This is the accepted version of the paper.This version of the publication may differ from the final published version. (e-mail: N.Karcanias@city.ac.). Permanent Abstract:The paper is concerned with establishing the links between the approximate GCD of a set of polynomials and the notion of the pseudo-spectrum defined on a set of polynomials. By examining the pseudo-spectrum of the structured matrix we will derive estimates of the area of the approximate roots of the initial polynomial set. We will relate the strength of the GCD to the weighted strength of the pseudospectra and we investigate under which conditions the roots of the approximate GCDs are a subset of the pseudo-spectra.

The computation of the Greatest Common Divisor (GCD) of a set of more than two polynomials is a non-generic problem. There are cases where iterative methods of computing the GCD of many polynomials, based on the Euclidean algorithm, fail to produce accurate results, when they are implemented in a software programming environment. This phenomenon is very strong especially when floating-point data are being used. The ERES method is an iterative matrix based method, which successfully evaluates an approximate GCD, by performing row transformations and shifting on a matrix, formed directly from the coefficients of the given polynomials. ERES deals with any kind of real data. However, due to its iterative nature, it is extremely sensitive when performing floating-point operations. It succeeds in producing results with minimal error, if we combine both floating-point and symbolic operations. In the present paper we study the behavior of the ERES method using floating-point and exact symbolic arithmetic. The conclusions derived from our study are useful for any other algorithm involving extended matrix operations.

No abstract

This paper revisits the Bézout, Sylvester, and power-basis matrix representations of the greatest common divisor (GCD) of sets of several polynomials. Furthermore, the present work introduces the application of the QR decomposition with column pivoting to a Bézout matrix achieving the computation of the degree and the coe cients of the GCD through the range of the Bézout matrix. A comparison in terms of computational complexity and numerical e ciency of the Bézout-QR, Sylvester-QR, and subspace-SVD methods for the computation of the GCD of sets of several polynomials with real coe cients is provided. Useful remarks about the performance of the methods based on computational simulations of sets of several polynomials are also presented.

61 ασθενείς με διαπιστωμένη πλήρους πάχους (full thickness) χρόνια ρήξη εκφυλιστικού τύπου του τενόντιου πετάλου του ώμου αντιμετωπίσθηκαν με ανοιχτή χειρουργική αποκατάσταση. Ακριβής χαρτογράφηση της ρήξης ανάλογα με το μέγεθος (size) αυτής και συρραφή των ρηχθέντων τενόντων με διάφορες διοστικές άγκυρες και με καλά ως άριστα χειρουργικά αποτελέσματα σε ποσοστό 64 – 84% των ασθενών.Η 4-υδροξυπρολίνη (Hyp) αποτελεί ένα από τα τέσσερα κυριότερα αμινοξέα στην αλυσίδα των κολλαγόνων ινών ιδίως του συνδετικού ιστού. Η παρουσία της υδροξυπρολίνης είναι πολύ σημαντική λόγω του ότι προσφέρει σταθερότητα στο εσωτερικό των μορίων των κολλαγόνων ινών και ιδιαίτερα στην τριπλή έλικα αυτών. Σταθερό και ποιοτικό κολλαγόνο είναι απαραίτητο για την μετεγχειρητική πρόγνωση και εξέλιξη του ασθενούς. Εξαιτίας αυτής της μοναδικής εντόπισης της στο κολλαγόνο του συνδετικού ιστού είναι εφικτό να υπολογίσουμε την ποσότητα του κολλαγόνου αυτού καταμετρώντας την ποσότητα της υδροξυπρολίνης σε διάφορες παθολογικές όπως η ρήξη του στροφικού πετάλου του ώμου. Στην μελέτη μας, με μία απλοποιημένη χρωματομετρική μέθοδο καταμετρήσαμε την ποσότητα του νεοσυντηθέμενου κολλαγόνου δηλαδή του προσφάτως παραγόμενου κολλαγόνου (salt-soluble collagen, δηλαδή κολλαγόνο που παράγεται από τον τένοντα άμεσα μετά την ρήξη του στην προσπάθεια επούλωσης αυτού) από τα κύτταρα του τενόντιου ιστού της βιοψίας μετά από τον υπολογισμό της υδροξυπρολίνης δημιουργώντας με αυτόν τον τρόπο μία σταθερά μέτρησης, το κλάσμα Hyp / Col., τον βιοχημικό δείκτη της μελέτης μας.Επίσης με την χειρουργική επέμβαση και την λήψη των ιστικών τεμαχίων από τα χείλη της ρήξης (ιστολογικές τομές) κατά την επιδιόρθωση αυτής καθορίσαμε τα ιστολογικά ευρήματα - δείκτες των ρηχθέντων τενόντων. Αυτά είναι : η λέπτυνση και ο αποπροσανατολισμός των κολλαγόνων ινών (collagen fragmentation – 90,2%), η μυξοειδή εκφύλιση – 88%, η εκφύλιση του υαλοειδούς – 51%, ο αγγειακός πολλαπλασιασμός - 62%, η λιπώδης διήθηση 20%- , η ινοχόνδρινη μεταπλασία - 45%, και η ασβεστοποίηση στο 24,5%. Πρόκειται για την πρώτη πειραματική προσέγγιση σε ανθρώπινο ιστικό τεμάχιο όπου ιστοπαθολογικά και βιοχημικά ευρήματα των βιοψιών συσχετίζουν δυνητικά την ποιότητα των τενόντων και την ποιότητα του νεοπαραγόμενου κολλαγόνου, όπου το ποσοστό της υδροξυπρολίνης προς το νεοσυντηθέμενο κολλαγόνο (Hyp/Col ratio) υποαντιπροσωπεύεται, δηλαδή είναι παθολογικό στο 57% των ασθενών ενώ ταυτόχρονα στην πλειονότητα (87%) των ίδιων ασθενών παρατηρούνται ιστολογικά ευρήματα συμβατά με βλάβη των κολλαγόνων ινών. Με αυτόν τον τρόπο, η κακή ποιότητα του τενόντιου ιστικού τεμαχίου επιβεβαιώνεται από την παρουσία των ιστολογικών δεικτών με επικράτηση στο 90% αυτών της διάσπασης των κολλαγόνων ινών αλλά και της μυξοειδούς εκφύλισης. Κατά συνέπεια, αυτό πιθανώς να δεικνύει την ήδη υπάρχουσα παθολογία ή βλάβη στην διαδικασία της μεταγραφικής τροποποίησης του κολλαγόνου και των ινών του δηλαδή βλάβη στην ποσότητα αλλά και την ποιότητα του κολλαγόνου που λαμβάνουμε από το ιστικό τεμάχιο της βιοψίας. Επομένως, η ποσοτική μέτρηση της υδροξυπρολίνης προς το κολλαγόνο του ιστικού τεμαχίου μέσω του κλάσματος έκβασης Hyp/Col, μπορεί να αποτελέσει έναν αξιόπιστο βιοχημικό δείκτη καταμέτρησης παραγωγής κολλαγόνου στα χείλη της ρήξης του τενόντιου πετάλου του ώμου κατά την επιδιόρθωση αυτού. Σε όλα τα δείγματα ελέγχου που μετρήθηκαν με τροποποιημένο κιτ, η φυσιολογική περιεκτικότητα υδροξυπρολίνης κυμάνθηκε μεταξύ 10-15% σε σχέση με προηγούμενες μελέτες (περιεκτικότητα υδροξυπρολίνης είναι 12,5% του νεοσυντιθέμενου κολλαγόνου). Στην μελέτη μας προσπαθήσαμε να διεξάγουμε περαιτέρω συμπεράσματα εάν το κλάσμα Hyp/Col συσχετίζεται με το φύλο, την ηλικία των ασθενών, την χρονιότητα και το μέγεθος της ρήξης του τενόντιου πετάλου αλλά και εάν υφίσταται κάποια αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των παραγόντων όπως και της συσχέτισης του κλάσματος έκβασης με τους ιστολογικούς δείκτες των ιστικών τεμαχίων που λαμβάνονται ως βιοψίες από του ίδιους ασθενείς Η μοναδική στατιστικά σημαντική συσχέτιση είναι αυτή που αφορά τον ιστολογικό δείκτη της εκφύλισης του υαλοειδούς, η παρουσία της οποίας φαίνεται να είναι πιο συχνή σε ασθενείς με φυσιολογικό κλάσμα έκβασης δηλαδή σε φυσιολογικούς παρά σε παθολογικούς ασθενείς. Επομένως, η συχνότερη παρουσία της εκφύλισης του υαλοειδούς σε φυσιολογικούς ασθενείς μπορεί να αποτελέσει ιστολογικό δείκτη καλής ποιότητας , καλού επιθυμητού ιστολογικού ευρήματος – δείκτου, πιθανότατα επούλωσης και όχι βλάβης του ιστικού τενόντιου τεμαχίου που επιδιορθώνουμε. Κανένας άλλος ιστολογικός δείκτης δεν εμφανίζεται να είναι στατιστικά σημαντικός σε σχέση με το κλάσμα έκβασης Hyp/Col. Κατά την ανάλυση των ιστολογικών δεικτών αλλά και του κλάσματος έκβασης Hyp/Col, σε σχέση με το φύλο, την ηλικία των ασθενών, την χρονιότητα και το μέγεθος της ρήξης αλλά και την μεταξύ τους αλληλεπίδραση, αποδεικνύεται πως δεν υφίσταται στατιστικά σημαντική διαφορά. Τέλος, όσον αφορά την σχέση του τελικού κλινικού αποτελέσματος των ασθενών και της παρουσίας των ιστολογικών δεικτών, αποδεικνύεται πως μόνον ο δείκτης της λιπώδους διήθησης είναι στατιστικά σημαντικός και μάλιστα η παρουσία του είναι έντονη σε ασθενείς με κακή κλινική έκβαση οι οποίοι μάλιστα όλοι τους είχαν μεγάλη ή μαζική ρήξη. Να σημειωθεί, πως έτσι και αλλιώς το μέγεθος της ρήξης σχετίζεται σχεδόν γραμμικά με το τελικό κλινικό αποτέλεσμα και όπως αποδεικνύεται, όλοι οι ασθενείς με κακή κλινική έκβαση – αποτέλεσμα είχαν ταυτόχρονα μεγάλη ή μαζική ρήξη.Η ποσοτική καταμέτρηση του κλάσματος Hyp / Col αλλά και η ποιοτική αξιολόγηση του ιστικών τεμαχίων (ιστολογικοί δείκτες), αποδεικνύεται ότι αποτελούν έναν ισχυρό δείκτη υπάρχουσας τενόντιας βλάβης και πιθανής μετεγχειρητικής τενόντιας επούλωσης αλλά και αξιόπιστο μετεγχειρητικό προγνωστικό δείκτη της τελικής έκβασης (clinical outcome) των ασθενών.