This paper is devoted to the so-called Mahler method. We precisely describe the structure of linear relations between values at algebraic points of Mahler functions. Given a number field k, a Mahler function f (z) ∈ k{z}, and an algebraic number α, 0 < |α| < 1, that is not a pole of f , we show that one can always determine whether the number f (α) is transcendental or not. In the latter case, we further obtain that f (α) belongs to the number field k(α). We also discuss some consequences of this theory concerning a classical number theoretical problem: the study of the sequence of digits of the expansion of algebraic numbers in integer bases, or, more generally in algebraic bases. Our results are derived from a recent theorem of Philippon ['Groupes de Galois et nombres automatiques ', J. Lond. Math. Soc. 95 (2015) 596-614] that we refine. We also simplify its proof.
RésuméCet article est consacréà la méthode de Mahler. Nous décrivons en détail la structure des relations de dépendance linéaire entre les valeurs aux points algébriques de fonctions mahlériennes. Etant donnés un corps de nombres k, une fonction mahlérienne f (z) ∈ k{z} et α un nombre algébrique, 0 < |α| < 1, qui n'est pas un pôle de f , nous montrons notamment que l'on peut toujours déterminer si le nombre f (α) est transcendant ou non. Dans ce dernier cas, nous obtenons que f (α) appartient nécessairementà l'extension k(α). Nous considéronségalement les conséquences de cette théorie concernant un problème arithmétique classique : l'étude de la suite des chiffres des nombres algébriques dans une base entière ou, plus généralement, algébrique. Nos résultats sont obtenusà partir d'un théorème récent de Philippon ['Groupes de Galois et nombres automatiques ', J. Lond. Math. Soc. 95 (2015) 596-614] que nous raffinons et dont nous simplifions la démonstration.
Cette note est consacrée aux aspects algorithmiques de la méthode de Mahler. Dans un travail récent, nous avons utilisé un résultat de Philippon pour montrer qu'étant donnés une fonction q-mahlérienne f (z) appartenant à k{z}, où k est un corps de nombres, et un nombre algébrique α dans le domaine d'holomorphie de f , le nombre f (α) est soit transcendant, soit dans k(α). Nous décrivons ici un algorithme permettant de trancher cette alternative. Plus généralement, étant donnés plusieurs fonctions qmahlériennes f1(z), · · · , fr(z) et un nombre algébrique α dans le domaine d'holomorphie des fi, nous montrons comment calculer explicitement une base de l'espace vectoriel des relations de dépendance linéaire sur Q entre les nombres f1(α), · · · , fr(α).
We develop a theory of linear Mahler systems in several variables from the perspective of transcendence and algebraic independence, which also includes the possibility of dealing with several systems associated with sufficiently independent matrix transformations. Our main results go far beyond the existing literature, also surpassing those of two unpublished preprints the authors made available on the arXiv in 2018. The main new feature is that they apply now without any restriction on the matrices defining the corresponding Mahler systems. As a consequence, we settle several problems concerning expansions of numbers in multiplicatively independent bases. For instance, we prove that no irrational real number can be automatic in two multiplicatively independent integer bases, and we give a new proof and a broad algebraic generalization of Cobham's theorem in automata theory. We also provide a new proof and a multivariate generalization of Nishioka's theorem, a landmark result in Mahler's method.
Contents1. Introduction 2. Mahler's method in several variables 3. Notation 4. Admissibility conditions 5. A new vanishing theorem 6. Mahler's method in families 7. Hilbert's Nullstellensatz and relation matrices 8. Proof of Theorem 6.2 9. Proofs of Theorems 2.3, 2.6, 2.8, and of Corollaries 2.5 and 2.9 10. Proof of Theorem 1.1 Appendix A. Representing numbers in independent bases References
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