Théorèmes de finitude pour les variétés pfaffiennes Annales de l'institut Fourier, tome 42, n o 1-2 (1992), p. 393-420 © Annales de l'institut Fourier, 1992, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales de l'institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. Inst. Fourier, Grenoble 42, 1-2 (1992), 393-420 THEOREMES DE FINITUDE POUR LES VARIETES PFAFFIENNES par R. MOUSSU ET C. ROCHE Claude GODBILLON et Jean MARTINET se sont souvent intéressés aux feuilletages et aux singularités. Ce qu^ils ont pu nous apprendre dans ce domaine nous a été évidemment précieux pour écrire ce papier qui porte sur les singularités de feuilletages. Ce travail poursuit et précise l'étude, commencée dans [MoRo], des variétés intégrales d'équations de Pfaff analytiques qui ne "spiralent" pas. Il s'agit essentiellement de montrer que de telles variétés possèdent la plupart des propriétés des ensembles semi-analytiques. Nous prouverons un théorème de finitude uniforme, de type Gabrielov-Hardt-Teissier [Ga] [Ha] [Te] pour de telles variétés et nous l'appliquerons à l'étude de leurs bouts. I. DEFINITIONS ET RESULTATS Dans ce travail on utilise sans rappels les définitions et résultats classiques de Lojasiewicz [Lo] [Ha] [Ma] sur les sous-ensembles semianalytiques de R". Une hypersurface pfa&enne de IV 1 est un triplet {V,a;,M} où M est un ouvert semi-analytique de R 71 , u} une 1-forme analytique sur un Mots-ciés : Equations de Pfaff-Semi-analytique-Khovanskii-Finitude. Classification A.M.S. : 32B20-14P99-57R30-34C05. 394 R. MOUSSU ET C. ROCHE voisinage de l'adhérence M de M et V une variété intégrale maximale de uj = 0 dans M qui est lisse de codimension 1; c'est-à-dire : T^V=ker^(x) , uj[x) ^ 0 si a: e V et V est maximale parmi les sous-variétés immergées connexes de M qui possèdent cette propriété. Soit X un sous-ensemble de R^. Nous dirons que {V,Ct;,M} est de Rolle dans X si tout chemin analytique dans X H M qui joint deux points de V est tangent en un point au moins au champ de (n-l)-plans défini par uj = 0. Plus précisément, quel que soit l'application analytique : 7 :[o,i]-^xnM , t^^(t), il existe t e [0,1] tel que le vecteur Y(t) appartienne au noyau de o/(7(^)). Lorsque X = M nous dirons seulement que {V,o;,M} est de Rolle. Cette propriété est intimement liée à la topologie de M. Nous montrerons dans le chapitre II que si M \ 5'(o;) est simplement connexe, toute hypersurface pfaffienne {V,ù;,M} est de Rolle, où S(uj) = {x/^(x) = 0} est le lieu singulier. Lorsque uj est intégrable, c'est-à-dire uj A duj = 0 et {V,C(;,M} est une hypersurface pfaffienne, V est une...