1.Herkommlicherweise wird der Abbildungsgrad (LERAY-SCHAUDER-Grad) einer Abbildung F = id + f einer offenen, beschrankten Menge D in einem BANACH-Raum X, wo f auf kompakt ist, definiert, indem man die kompakte Abbildung f durch Abbildungen mit endlich-dimensionalem Bild approximiert. Auf diese Weise wird das Problem auf die Berechnung von , Abbildungsgraden in endlich-dimensionalen Riiumen zuruckgefuhrt . In diesem Fall wird wiederum eine stetige Abbildung durch differenzierbare Abbildungen approximiert, fur die schliel3lich eine direkte Definition desso setzt man (1) deg (P, y) := C sign det dFs .FZ = ?I (Wir schreiben dFx oder auch dF (x) fur die Ableitung von P an der Stelle x.)Es ist klar, daB die solchermaBen gewonnene Definition fur Abbildungen in BANAcH-Raumen fur praktische Zwecke nicht sonderlich geeignet ist, da wegen der erforderlichen Approximationsprozesse die tatsachliche Berechnung des Abbildungsgrades nur selten moglich ist. Es mag daher von Interesse sein, wenigstens fur differenzierbare Abbildungen B = id + f, wobei f kompakt ist oder, wie wir sehen werden, noch wesentlich allgemeiner gewahlt werden kann, eine direkte Definition des Abbildungsgrades zu geben. Dies ist in unmittelbarer Verallgemeinerung der im endlichdimensionalen Fall gegebenen Definition moglich, indem man in (1) sign det dFz ersetzt durch (-l)B(df(Z)), wo / 3 (df (x)) die Summe der (verallgemeinerten) Vielfachheiten aller Eigenwerte A E (-00, -I) des (kompakten !) linearen Operators df, bezeichnet.(i) F eigentlich (d. h. das Urbild einer kompakten Menge kompakt) ist, Da13 diese Definition moglich ist, liegt daran, daB
We define an index of Fuller type counting the periodic orbits of a local topological semiflow on ANR spaces avoiding smoothness assumptions and approximation processes
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