We study the problem of an elastic shell-like inclusion with high rigidity in a three-dimensional domain by means of the asymptotic expansion method. The analysis is carried out in a general framework of curvilinear coordinates. After defining a small real adimensional parameter ε, we characterize the limit problems when the rigidity of the inclusion has order of magnitude 1 ε and 1 ε 3 with respect to the rigidities of the surrounding bodies. Moreover, we prove the strong convergence of the solution of the initial three-dimensional problem towards the solution of the simplified limit problem.

We study the problem of an elastic inclusion with high rigidity in a 3D domain. First we consider an inclusion with a plate-like geometry and then in the more general framework of curvilinear coordinates, an inclusion with a shell-like geometry. We compare our formal models to those obtained by Chapelle-Ferent and by Bessoud et al. To cite this article: A.-L. Bessoud et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). RésuméInclusions élastiques de grande rigidité de type plaque ou coque. On étudie le problème d'une inclusion élastique de grande rigidité dans un domaine 3D. Cette inclusion est d'abord vue comme un domaine géométrique de type plaque, puis plus générale-ment comme un domaine géométrique de type coque. On compare les modèles obtenus formellement à ceux de Chapelle-Ferent et de Bessoud et al. Pour citer cet article : A.-L. Bessoud et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). Version française abrégée L'étude d'une couche mince élastique insérée entre deux matériaux élastiques et possédant des propriétés d'un ordre de grandeur différent de celles de ces deux matériaux, s'est largement développée à la suite des travaux de Pham Huy-Sanchez [12], Brezis et al. [5] et Caillerie [6]. Plus récemment Chapelle-Ferent [7] ont étudié le comportement limite dans le cas d'une inclusion de type coque d'épaisseur ε dans un domaine 3D, lorsque la rigidité de cette coque est d'ordre 1 ε p avec p = 1 ou p = 3. Dans un contexte géométrique et mécanique différent, Bessoud et al. [4] ont étudié le comportement d'une couche 3D, d'épaisseur ε et de rigidité 1 ε . Plus précisement cette couche mince est de la forme : ω × ]−ε, ε[ où ω est une surface 2D projetable, et les matériaux sont linéairement élastiques et anisotropes. Le problème limite est un problème de transmission de type Ventcel, entre deux corps linéairement élastiques anisotropes.Dans le cas isotrope, lorsque ω, l'énergie de surface associée à cette condition de transmission peut être interprétée comme une énergie membranaire de Kirchhoff-Love.Ici deux situations sont considérées. Dans la section 2, on étudie la même situation que [4] pour un maté-riau isotrope dont la rigidité est d'ordre 1 ε p avec p = 1 ou p = 3. Plus précisemment, dans l'espace Euclidien tridimensionnel E 3 muni du repère Cartesien (O; e 1 , e 2 , e 3 ), soient Ω + and Ω − deux ouverts disjoints à bords réguliers ∂Ω + et ∂Ω − . Soit ω = {∂Ω + ∩ ∂Ω − } • un domaine de R 2 de mesure bidimensionnelle non nulle et soit y = (y α ) un point générique de ω. La couche intermédiaire est insérée, en déplaçant Ω + (respectivement Ω − ) suivant e 3 (respectivement −e 3 ), d'une quantité ε > 0, où ε > 0 est un petit paramètre réel positif. Soient Ω ±,ε := {x ε := x ± εe 3 ; x ∈ Ω ± }, Ω m,ε := ω × ]−ε, ε[, et Ω ε := Ω −,ε ∪ Ω +,ε ∪ Ω m,ε . La structure est fixée sur Γ 0 ⊂ (∂Ω ε \ Γ m,ε ) et Γ m,ε := ∂ω × ]−ε, ε[ est un bord libre. Le problème physique sur le domaine variable Ω ε s'écrit sous la forme variationnelle (2). On utilise alors une formulation à deux champs, de façon analogue à [7]. Afin ...