A parametrização da velocidade angular instantânea de um corpo rígidoé usualmente descrita nos cursos de mecânica clássica com o auxílio dosângulos de Euler. No entanto, para evitar problemas de singularidade na integração numérica das equações de movimento de rotação, outras formas de parametrização são mais interessantes. Dentre as diversas opções, os quatérnions são uma escolha bastante popular e com forte apelo prático na parametrização e integração das equações de Euler. Neste sentido, o presente artigo contribui com uma apresentação didática e comparação da integração numérica das equações de Euler para descrição do movimento de um giroscópio com a cinemática inversa solucionada viaângulos de Euler e por quatérnions, que não são comumente descritas em livros didáticos clássicos em um primeiro curso de mecânica. Busca-se mostrar que além deste trunfo numérico, a integração das equações de movimento com parametrização via quatérnions também pode ser usada com um fim didático mais nobre: introduzir e motivar os estudantes de um curso de mecânica, tanto físicos como engenheiros, no uso de outros sistemas algébricos mais avançados, como aÁlgebra Geométrica (Álgebra de Clifford). Palavras-chave: Rotações. Giroscópio. Orientação no espaço. Singularidades.Ângulos de Euler. Quatérnions.Álgebra geométrica.The angular velocity of a rigid body is usually described in classical mechanics courses by using Euler angles. However, in order to avoid singularity problems on the numerical integration of the motion equations, another ways are more interesting. Among them, the quaternions are a very popular choice and with a strong practical appeal on the parameterization and integration of the Euler's equations. In this sense, this paper proposes a comparison between the numerical integration of the Euler equations of a gyroscope with the inverse kinematics solved through Euler angles and by quaternions, that are not commonly described in classical mechanics textbooks on a first mechanical course. The goal is to show that apart the numerical asset, the integration of the motion equations with the quaternions parameterization also can be used with a noblest didactical way: to introduce and motivate the students with the use of others more advanced algebraic systems, as Geometric Algebra (Clifford's Algebra). Keywords: Gyroscope, Quaternions, Euler Angles, Geometric Algebra, Rigid Body Rotation in Space. IntroduçãoA parametrização de rotações finitas de um corpo rígido no Espaço Euclidiano foi descrita magistralmente por Euler em 1775 a partir do uso de três rotações sequenciais. Este resultado foi um corolário obtido a partir de seu teorema, conhecido hoje como * Endereço de correspondência: andreysonj@gmail.com.br. † Endereço de correspondência: samuel@dem.feis.unesp.br.Teorema de Rotação de Euler, que demonstrou que qualquer rotação de um corpo com um ponto fixo pode ser descrita por uma rotação própria em torno de um eixo de rotação, conhecido como Eixo de Euler, solidário ao giro do próprio corpo [1,2].Até os dias atuais es...
The functional-series angle-/time-varying autoregressive moving-average (AT-FS-ARMA) model was used to model and analyze vibration-based signals from internal combustion engines. This approach is derived from the formulation of the time-angle periodically correlated processes, a relatively new topic in the cyclostationary framework, which has gained attention for modeling of mechanical signals. The AT-FS-ARMA model consists of traditional time-varying FS-ARMA-like models, but with the projection coefficients expanded in terms of the angular variable, dependent on time. Therefore, the method has the advantage of considering the angle periodicities often present in vibration-based signals from rotating and reciprocating machines. The performance is illustrated by an experimental application of signals measured in a diesel internal combustion engine (ICE) with a constant operating speed. The accuracy of the model is evaluated through the residual sum of squares normalized by the series sum of squares. To illustrate the use of the AT-FS-ARMA for vibration analysis of ICEs, parametric angle-frequency spectrum was estimated and compared to angular-varying pseudo-Wigner-Ville distribution/ spectrum. The results showed that AT-FS-ARMA provides a useful complementary tool for analysis.
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