ÉTUDE DES COEFFICIENTS DE FOURIER DES FONCTIONS DE I/(G)par Aline BONAMI Introduction.Il a été établi depuis longtemps, par Riemann et Lebesgue, que les coefficients de Fourier d'une fonction 2n -périodique intégrable tendent vers 0 à l'infini. Il était dès lors naturel de s'attacher à déterminer la rapidité avec laquelle les coefficients de Fourier d'une telle fonction tendent vers 0, suivant qu'elle appartient à telle ou telle classe de fonctions intégrables. Deux cas sont bien connus : pour que la fonction f appartienne à L^T), il est nécessaire et suffisant que ï\f{n)\ 21 soit fini, si f(n) désigne son nième coefficient de Fourier :fW^^f^^e-dxp ar contre, il existe dans L^T) des fonctions dont les coefficients de Fourier ont une décroissance arbitrairement lente. Que peut-on dire de la décroissance des coefficients de Fourier des fonctions de L^T), 1 < p < 2? C'est là un problème classique, qui a été abordé de bien des manières ([10], chapitre 12). Nous citerons à ce sujet deux théorèmes, qui nous serviront de modèle : dans son étude sur les séries lacunaires, Banach a montré que, si ^ désigne une suite lacunaire d'entiers (lim ^c+i/^c > 1)? e^ si f appartient à L^T), p > 1. Après avoir, dans un premier chapitre, énoncé des conditions nécessaires sur les suites ^(y)? nous donnons, dans le chapitre 2, des exemples d'ensembles A(ç) particuliers. Le principal résultat de cette partie est une généralisation du théo-rème de Banach : soit t^ une suite lacunaire d'entiers telle que tn+i ^ 3^. On appelle suite /c-lacunaire associée à la suite t^ la suite 6^ formée de tous les entiers qui s'écrivent sous la forme ± t^lors, quelle que soit la fonction f 27r-périodique telle que CONDITIONS NÉCESSAIRES POUR QU'UN ENSEMBLE SOIT A(g).Soit G un groupe compact abélien, F son dual, dont on sait qu'il est discret. Nous cherchons les fonctions À(y) sur F telles que, pour toute fonction f appartenant à un certain espace de Banach B de fonctions intégrables sur G, S \W\fW soit fini.Ter II est sûrement fort difficile de caractériser ces fonctions X(y), sauf lorsque l'espace B est L^G) tout entier (ce sont alors les fonctions de carré sommable), ou bien si l'espace B est contenu dans L^G) (toute fonction bornée convient alors). Les espaces de fonctions considérés dans la suite correspondront à des cas « intermédiaires ». Ce seront, suivant les cas : -L^G), 1 < p < 2, l'espace des fonctions de puissance p^ intégrable; -L(Log "^"L)^ a > 0, l'espace des fonctions f telles que /l/1(Log +|/ > |) a dx soit fini.-Ip(F), où 1 ^ p < 2, F c F, l'idéal fermé de LP(G) formé des fonctions f telles que ^(y) = 0 si y n'appartient pas à F.Dans le premier cas, on dira encore que X(y) est un multiplicateur envoyant â^L^G) dans SïïL^G), dans le second cas un multiplicateur envoyant ^(Log'^L) 01 dans ^PL^G). Si, pour groupe G, on considère le tore, les multiplicateurs de ^PL^G) dans ^FL^G) sont particulièrement intéressants, car ils permettent d'obtenir des multiplicateurs de 9Ï^(G) dans lui-même : on sait que la suite \(n) est un multiplicateur de ...
Starting from a Whitney decomposition of a symmetric cone Ω, analogous to the dyadic partition [2j, 2(j + 1) of the positive real line, in this paper we develop an adapted Littlewood–Paley theory for functions with spectrum in Ω. In particular, we define a natural class of Besov spaces of such functions, Bνp,q, where the role of the usual derivation is now played by the generalized wave operator of the cone normalΔfalse(∂normal∂xfalse). We show that Bνp,q consists precisely of the distributional boundary values of holomorphic functions in the Bergman space Aνp,qfalse(TΩfalse), at least in a ‘good range’ of indices 1 ⩽ q < qν, p. We obtain the sharp qν, p when p ⩽ 2, and conjecture a critical index for p > 2. Moreover, we show the equivalence of this problem with the boundedness of Bergman projectors Pν:Lνp,qfalse→Aνp,q, for which our result implies a positive answer when qν, p′ < q < qν, p}. This extends, to general cones, previous work of the authors on the light‐cone. Finally, we focus on light‐cones and introduce new necessary and sufficient conditions for our conjecture to hold in terms of inequalities related to the cone multiplier problem. In particular, using recent work by Laba and Wolff, we establish the validity of our conjecture for light‐cones when p is sufficiently large. 2000 Mathematics Subject Classification 42B35, 32M15.
Although the classical Fractional Brownian Motion is often used to describe porosity, it is not adapted to anisotropic situations. In the present work, we study a class of Gaussian fields with stationary increments and "spectral density." They present asymptotic self-similarity properties and are good candidates to model a homogeneous anisotropic material, or its radiographic images. Unfortunately, the paths of all Gaussian fields with stationary increments have the same apparent regularity in all directions (except at most one). Hence we propose here a procedure to recover anisotropy from one realization: computing averages over all the hyperplanes which are orthogonal to a fixed direction, we get a process whose Hölder regularity depends explicitly on the asymptotic behavior of the spectral density in this direction.
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