Chapitre IV Les Ext de faisceaux de modules.
Les foneteiirsHomo (A, i?) et Homo (A, B). Soit Xun espace topologique muni d'un faisceau O d'anneaux avec unite, et soit C° la categorie abelienne des O-Modules (a gauche) sur X (cf. 3.1). Si A et B sont deux O-modules, nous designons par Homo (A ,B) le groupe des O-homomorphismes du premier dans le second (ce groupe est en fait un module sur le centre de Γ(O)). Si U est une partie quelconque de X, on posera Homo(*7; A,B) = Ή.om O \π(A\U,B\U) (oύ F\U designe, comme d'habitude, la restriction d'un faisceau Fa £/)• Bien entendu, si VaU, on a un homomorphisme naturel Homo (U A,£)->Homo (V,AjB), et on verifie immediatment que si on se restreint aux parties ouvertes U de X, les groupes Homo (£7; A, B) forment un faisceau sur X, note Homo (A,B). Ainsi par definition, on a (4.1.1) Γ (U, Homo (A, B)) = Homo (U A, B) et en particulier, faisant U = X: (4.1. 2) Homo (A, B) = Γ (Homo (A, B)\ D'ailleurs, Homo (A, B) peut aussi etre considere comme un faisceau de modules sur le centre O* de O.Rappeloπs que Homo (A, B) est un foncteur additif exact a gauche en les deux arguments A, B € C°, a valeurs dans les groupes abeliens. On en conclut que Homo (A, B) peut aussi etre regarde comme un foncteur exact a gauche en les deux arguments A, B € C°, a valeurs dans la categorie C r des faisceaux abeliens sur X ? (ou metne a valeurs dans la categorie O oίl ). Comme d'habitude, tous les homomorphismes que nous ecrirons seront "fonctoriels". Ce numero donne quelques proprietes auxiliaires des foncteurs envisages, preliminaires a Γetude de leurs foncteurs derives.Soient A, B € C°, et soit x € X Pour tout ouvert U contenant x, on a un homomorphisme evident Homo (U;A,B)~-+ Homo^(A(x), B(x)), d'oύ par passage a la limite inductive sur les voisinages ouverts de x, un homomorphisme naturel (4.1. 3) Homo (A, B) (x) ~> Horn© <»> (A(x), B{x)