The numerical solution of the Euler equations requires the treatment of processes in different temporal scales. Sound waves propagate fast compared to advective processes. Based on a spatial discretisation on staggered grids, a multirate time integration procedure is presented here generalising split-explicit Runge-Kutta methods. The advective terms are integrated by a Runge-Kutta method with a macro stepsize restricted by the CFL number. Sound wave terms are treated by small time steps respecting the CFL restriction dictated by the speed of sound.Split-explicit Runge-Kutta methods are generalised by the inclusion of fixed tendencies of previous stages. The stability barrier for the acoustics equation is relaxed by a factor of two.Asymptotic order conditions for the low Mach case are given. The relation to commutator-free exponential integrators is discussed. Stability is analysed for the linear acoustic equation. Numerical tests are executed for the linear acoustics and the nonlinear Euler equations.
Kurzfassung
Das zeitlich veränderliche Temperaturfeld an Werkzeugmaschinen bedingt zeitabhängige Verformungen der Maschine und damit Verlagerungen an der Wirkstelle, welche die erreichbaren Werkstückgenauigkeiten begrenzen. Die Kenntnis dieses Temperaturfelds ist sowohl für die zielgerichtete Gestaltung und Variantenbewertung im Rahmen der Maschinenentwicklung als auch für die steuerungsintegrierten Ansätze zur Korrektur der thermisch bedingten Bewegungsfehler erforderlich. Insbesondere die Echtzeitkorrekturen setzen jedoch schnelle Berechnungsmethoden für das Temperaturfeld der Werkzeugmaschinen-Struktur und damit entsprechend kompakte Modelle voraus. In diesem Beitrag werden am Beispiel des Ständers einer Fräsmaschine ausgehend von der CAD-Geometrie, drei Wege zur Erzeugung kompakter Berechnungsmodelle für das Temperaturfeld vorgestellt und mit einer transienten thermischen FE-Rechnung einer geometrisch detailliert abgebildeten Ständerstruktur hinsichtlich Aufbereitungsaufwand, Modelldimension, Rechenzeit und Ergebnisqualität verglichen.
Kurzfassung
Bei der thermo-elastischen FE-Modellierung großer Werkzeugmaschinen-(WZM)-Strukturen entstehen komplexe, rechenintensive Modelle. Die Verringerung der Rechenzeit ist essentiell sowohl für die Designoptimierung als auch für die steuerungsintegrierte Korrektur thermischer Verformungen. In diesem Artikel wird gezeigt, wie ein komplexes thermo-elastisches FE-Modell einer Werkzeugmaschinen-Baugruppe zu einem kompakten, rechenzeitsparenden Berechnungsmodell reduziert wird. Die Anwendung der im Beitrag vorgestellten Verfahren bringt im Vergleich zur konventionellen thermo-elastischen FE-Simulation eine Rechenzeitverkürzung bis zu einer Größenordnung von 1: 1000 bei praktisch vernachlässigbarem Genauigkeitsverlust. Das Verfahren wird an der Ständer-Baugruppe einer Fräsmaschine demonstriert.
Heat resulting from motors, moved contacts as well as cutting processes, causes time-dependent deformation of machine structures that reduces the precision of machine tools. For design optimization and especially for correction of thermal induced displacements, it is necessary to have compact models, which allow fast simulation of the thermo-elastic behaviour of the entire moving machine tool during the process. This paper presents an innovative simulation technology that permits, starting from CAD geometry through FE modelling, to come to a time-saving thermo-elastic calculation model of entire moved machine tools. Thereby, calculated temperature and deformation fields are of high geometrical resolution. Results and potentials of the new approach are demonstrated on example of a Hexapod machine tool.
Thermally induced deviations become the limiting factor for the precision of machine tools. Structure-based finite-element models of high resolution can estimate these deviations with high accuracy but have also a high computational effort. With model order reduction (MOR) these models can be converted into structure-preserving reduced-order finite-element models (FEM-MOR-models) which can be solved very efficiently in MATLAB/Simulink®. To improve model matching selective thermography is used. Selective thermography is a measurement method providing high structural resolution and minimal instrumentation expense due to the use of thermography and photogrammetric methods.
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