In this paper, we study linear control systems over Ore algebras. Within this mathematical framework, we can simultaneously deal with different classes of linear control systems such as time-varying systems of ordinary differential equations (ODEs), differential time-delay systems, underdetermined systems of partial differential equations (PDEs), multidimensional discrete systems, multidimensional convolutional codes, etc. We give effective algorithms which check whether or not a linear control system over some Ore algebra is controllable, parametrizable, flat or π-free.

No abstract

No abstract

No abstract

Abstract. In this second part of the paper [A. Quadrat, SIAM J. Control Optim., 40 (2003), pp. 266-299], we show how to reformulate the fractional representation approach to synthesis problems within an algebraic analysis framework. In terms of modules, we give necessary and sufficient conditions for internal stabilizability. Moreover, we characterize all the integral domains A of SISO stable plants such that every MIMO plant-defined by means of a transfer matrix whose entries belong to the quotient field K = Q(A) of A-is internally stabilizable. Finally, we show that this algebraic analysis approach allows us to recover on the one hand the approach developed in [M. C. Smith, IEEE Trans. Automat. Control, 34 (1989) Introduction. Using the algebraic analysis viewpoint of the fractional representation approach to analysis and synthesis problems [5,28,29], developed in the first part of the paper [17], we give necessary and sufficient conditions for internal stabilizability. Moreover, using these results, we prove that every multi-input multi-output (MIMO) plant-defined by means of a transfer matrixT are matrices whose entries belong to an integral domain A of single input single output (SISO) stable plants-is internally stabilizable iff A is a Prüfer domain [6,23]. From the fact that the intersection between coherent Sylvester domains (see [17] for more details) and Prüfer domains are just Bézout domains, we also recover the result of Vidyasagar [29]: every MIMO plant admits doubly coprime factorizations iff A is a Bézout domain. Hence, if the algebra A is a Prüfer domain but not a Bézout domain, there exist plants which are internally stabilizable but fail to admit doubly coprime factorizations. Therefore, it is not possible to parametrize all their stabilizing controllers by means of the Youla-Kučera parametrization [4,28]. These results allow us to explain the counterexamples exhibited in [1,12]. We prove that, over a projective-free domain A (e.g., H ∞ (C + ), RH ∞ ), every stabilizable system admits doubly coprime factorizations. Finally, we show that the previous results allow us to recover, on the one hand, the results of [25] and, on

No abstract

Calcul effectif de bases de modules libres sur des algèbres de Weyl Résumé : Un résultat célèbre dû à J. T. Stafford montre qu'un module à gauche M stablement libre sur les algèbres de Weyl D = A n (k) ou B n (k) (k est un corps de caractéristique 0) vérifiant rank D (M) ≥ 2 est libre. Le but de ce papier est de donner une nouvelle preuve constructive de ce résultat ainsi qu'un algorithme effectif pour le calcul de bases de M. Cet algorithme, basé sur de nouvelles preuves constructives [11, 14] d'un résultat de J. T. Stafford sur le nombre de générateurs d'un idéal à gauche de D, est une sorte de méthode de pivot de Gauss appliquée à l'adjoint formel de la matrice de présentation de M. Nous montrons que le résultat de J. T. Stafford est un cas particulier d'un résultat plus général montrant qu'un D-module à gauche M stablement libre satisfaisant rank D (M) ≥ sr(D) est libre, où sr(D) désigne le rang stable de l'anneau D. Ce résultat est constructif dès lors que l'on peut tester la stabilité des vecteurs unimodulaires à coefficients dans D. Finalement, nous donnons un algorithme calculant la dimension projective d'un D-module à gauche défini par une résolution libre de type fini. Ce dernier résultat nous permet de vérifier si un D-module à gauche est stablement libre. Mots-clés : Modules stablement libres, modules libres, calcul effectif de bases, dimension projective, résultats de Stafford, algèbres de Weyl, systèmes linéaires multidimensionnels plats.

No abstract