Introduite par Hall [4] en 1979 et étudiée de
manière systématique par Hall et
Tenenbaum ([6, 7]), la fonctionformula hereest une mesure quadratique de la proximité des diviseurs.On a trivialement τ(n)[les ]T(n,
α)[les ]T(n, 1)=τ(n)2 pour tout α,
où, ici et dans
la suite, τ(n) désigne le nombre de diviseurs d'un entier générique n: Le statut de
l'inégalité de gauche pour presque tout entier n est une question difficile qui a inspiré
une conjecture d'Erdős (cf. [1]) assez connue. Convenons de désigner par pp (presque
partout) une relation valable sur un ensemble d'entiers de densité unité et posonsformula here(Cette fonction est mentionnée dans [4], mais sa
définition fait l'objet d'une coquille.)
L'aspect fractal de la suite des diviseurs d'un entier normal peut être révélé de diverses manières, comme l'existence d'une dimension de Hausdorff convenablement définie [5]. Cependant, les critères les plus fins sont liés à la conjecture d'Erdős datant de la fin des années 1930, mentionnée dans [3] et établie dans [6], selon laquelle presque tout entier possède deux diviseurs dont le rapport est dans l'intervalle ]1,2[.
Sur la densité de certains ensembles de multiples, 1 par A. Raouj (Marrakech) 1. Introduction. La motivation du présent travail est la résolution d'une conjecture d'Erdős sur les ensembles de multiples (l'ensemble des multiples B(A) d'une suite A est par définition B(A) := AN). On considère, pour n entier positif, l'ensemble des multiples B(n) de la suite D(n) := d|n ]d, 2d] ∩ N. Erdős a conjecturé que (1.1) dB(n) = 1 + o(1) p.p. L'argument heuristique suivant constitue la motivation initiale d'Erdős concernant (1.1). Lorsque n et m sont premiers entre eux (hypothèse faite seulement pour simplifier cette argumentation) on sait que le nombre des paires {d, t} telles que d | n, t | m et t ≤ 2n peutêtre minoré par U n,m = 2 ω(n) 2 ω(m,n) , où ω(m, n) := p|m p≤n [121]
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