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A problem of the gyroscopic motions around a fixed point, under the action of a gyrostatic moment vector, in presence of electromagnetic field and Newtonian one, is considered. The small parameter technique is used to investigate the periodic solutions for the derived equations of such motion problem. A geometric interpretation of motion will be given in terms of Euler’s angles (θ,ψ,ϕ). Computer programs are carried out to integrate the attained quasilinear autonomous system using a fourth-order Runge-Kutta method. A comparison between the obtained analytical solutions and the numerical ones is investigated to calculate the errors between them.

The current study uses the multi-physics COMSOL software and the Darcy–Brinkman–Forchheimer model with a porosity of ε = 0.4 to conduct a numerical study on heat transfer by Cu-TiO2/EG hybrid nano-fluid inside a porous annulus between a zigzagged triangle and different cylinders and under the influence of an inclined magnetic field. The effect of numerous factors is detailed, including Rayleigh number (103 ≤ Ra ≤ 106), Hartmann number (0 ≤ Ha ≤ 100), volume percent of the nano-fluid (0.02 ≤ ϕ ≤ 0.08), and the rotating speed of the cylinder (−4000 ≤ w ≤ 4000). Except for the Hartmann number, which decelerates the flow rate, each of these parameters has a positive impact on the thermal transmission rate.

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The small parameter method was applied for solving many rotational motions of heavy solids, rigid bodies, and gyroscopes for different problems which classify them according to certain initial conditions on moments of inertia and initial angular velocity components. For achieving the small parameter method, the authors have assumed that the initial angular velocity is sufficiently large. In this work, it is assumed that the initial angular velocity is sufficiently small to achieve the large parameter instead of the small one. In this manner, a lot of energy used for making the motion initially is saved. The obtained analytical periodic solutions are represented graphically using a computer program to show the geometric periodicity of the obtained solutions in some interval of time. In the end, the geometric interpretation of the stability of a motion is given.

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In der vorliegenden Arbeit wird die Bewegung eines festen Körpers um einen festen Punkt in einem zentralen Newtonschen Kraftfeld betrachtet. Es wird angenommen, daß das Massenzentrum des Körpers nicht notwendig mit dem festen Punkt zusammenfällt und daß dessen Trägheitsellipsoid beliebig ist. In die Betrachtung wird mit einbezogen, daß der Körper eine hinreichend große Anfangswinkelgeschwindigkeit (r0) um die kleine oder die große Hauptachse des Trägheitsellipsoids hat und daß der Parameter (l/r0) klein ist. Die Bewegungsgleichungen und deren verfügbare erste Integrale werden auf ein quasilineares autonomes System mit zwei Freiheitsgraden und mit einem ersten Integral reduziert. Es werden die Methode von Poincaré [1] und deren Modifikationen [2] und [3] angewendet, um periodische Lösungen für das erhaltene autonome System in dem Falle zu konstruieren, wenn zwei Frequenzen des erzeugenden Systems verschieden, aber kommensurabel sind (mit Ausnahme von w = 1/2, 1, 2). Wir beschränken uns darauf, solche Lösungen und die Ausdrücke für die Eulerschen Winkel für den Grenzfall γ ≈ 0 zu bestimmen. Schließlich wird ein Runge‐Kutta‐Verfahren der Ordnung 4 [4] angewendet, um die numerischen Lösungen des autonomen Systems zu untersuchen. Danach werden graphische Darstellungen sowohl für die numerische als auch für die analytische Lösung gewonnen. Ein Vergleich zwischen ihnen zeigt, daß die Ergebnisse weitgehend zusammenfallen und die Abweichungen sehr klein sind.