Энтропия унитарного оператора на $L^2(\mathbb T^n)$

Abstract

В работе изучается понятие $\mu$-нормы оператора, введенное Д. В. Трещeвым. Мы концентрируемся на случае операторов на пространстве $L^2(\mathbb{T}^n)$, где $\mathbb{T}^n$ - $n$-мерный тор (случай $n=1$ рассмотрен ранее Трещeвым). Основной мотивировкой для нас является использование $\mu$-нормы в качестве ключевого ингредиента для построения квантового аналога метрической энтропии - энтропии унитарного оператора на $L^2(\mathcal X,\mu)$, где $(\mathcal X,\mu)$ - вероятностное пространство. Приведены свойства $\mu$-нормы и способы ее вычисления для различных классов операторов на $L^2(\mathbb{T}^n)$. Конструкция энтропии, предложенная Трещeвым, подправлена так, чтобы выполнялись свойства субаддитивности и монотонности относительно разбиений пространства $\mathcal X$. Даны примеры вычисления энтропии для некоторых классов операторов на $L^2(\mathbb{T}^n)$. Библиография: 29 названий.