Числа Гурвица, Получающиеся Из Фейнмановских Диаграмм

Abstract

Для получения производящей функции чисел Гурвица самого общего вида, с произвольной базовой поверхностью и с произвольными профилями ветвления, рассмотрена матричная модель, построенная по графу на ориентированной связной поверхности $\Sigma$ без границы. Вершины этого графа, называемые звездами, являются маленькими дисками, а сам граф представляет собой "чистый детский рисунок созвездия" (clean dessins d'enfants). В сегменты границы каждого диска вставлены матрицы-источники. Их произведение определяет матрицу монодромии данной звезды, спектр которой называется спектром звезды. Поверхность $\Sigma$ состоит из склеенных карт, каждая карта отвечает произведению случайных матриц и матриц-источников. За склейки поверхности из набора карт отвечает спаривание Вика, а за вклейку листов Мeбиуса - дополнительная вставка специальной тау-функции в меру интегрирования. Матричный интеграл вычисляется как ряд Фейнмана, в котором роль констант связи играют спектральные данные звезд, а коэффициенты этого ряда и есть числа Гурвица. Они задают число накрытий поверхности $\Sigma$ (или ее расширений до поверхности Клейна, полученных вставкой листов Мeбиуса) при любом заданном наборе профилей ветвления в вершинах графа. Акцент сделан на комбинаторном описании матричного интеграла. Число Гурвица равно числу фейнмановских диаграмм определенного типа, деленному на порядок группы автоморфизмов графа.