О Субдифференциале И Производных По Направлениям Максимума Семейства Выпуклых Функций

О Субдифференциале И Производных По Направлениям Максимума Семейства Выпуклых Функций. II

“…[21], что в равенст вах (1.1) и (1.2) также достигается максимум, если функция f(s,x) := f s (x) по лунепрерывна сверху по переменной s на множестве S при всех х G X и выполнено одно из следующих условий: 1) множество S -компактное топологическое пространство; 2) многозначное отображение S(x): dom/ -> S имеет непустые компактные значения и полунепрерывно сверху на любом отрезке в dom /;…”

“…3) множество S относительно компактно в топологическом пространстве У, а функция f(s,x) коэрцитивна по s в точке хо G dom / (функция f(s,x) называется коэрцитивной по s в точке жо, если lim/(s,xo) = -оо при s G 5, s -> so ф 5, когда множество S не замкнуто, и если lim/(s,xo) = -оо при s G 5, ||з|| -> оо, когда оно не ограничено (и является подмножеством нормированного пространст ва У; в этих условиях S снабжается относительной топологией, индуцируемой на S из У)) [21]; 4) множество S является подмножеством конечномерного пространства Y = IR m , а функция f(s,x) коэрцитивна по s в точке жо; 5) множество S -выпуклое подмножество рефлексивного банахова пространст ва У, а функция f(s,x) коэрцитивна по s в точке хо и вогнута на множестве S при всех ж G X.…”

“…Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству теоремы 6.1 из [21]. Множество (3.5) будет замкнуто, когда функция f(s,x) полунепрерывна сверху по s на множестве S при всех ж £ X и выполнено одно из условий 1)-5), указанных в §2 (см.…”

“…Множество (3.5) будет замкнуто, когда функция f(s,x) полунепрерывна сверху по s на множестве S при всех ж £ X и выполнено одно из условий 1)-5), указанных в §2 (см. [21]). …”

“…В неком пактном случае общая формула для субдифференциала максимума была установ лена М. Валадье [31]. В § 3 даны некоторые усиления теорем, полученных М. Вала-дье [31] и автором [18], [19], [21]. Близкая задача о субдифференцировании функции р(х) = vraimax{p(s,x(s)) : s G Щ, где (П, /i) -пространство с конечной мерой, ж = x(s) G L°°(fi, fi)(X), X -бана хово пространство, функция p(s, ж) измерима по s и сублинейна по ж, изучалась в работе [8].…”