О Разложениях По Собственным Функциям Для Уравнения Шредингера С Обратноквадратичным Потенциалом

Abstract

Рассмотрено одномерное уравнение Шредингера −f ′′ + qκf = Ef на положительной полуоси с потенциалом qκ(r) = (κ 2 − 1/4)r −2. Для каждого комплексного ϑ построено решение u κ ϑ (E) данного уравнения, аналитическое по κ в комплексной окрестности интервала (−1, 1) и, в частности, в "сингулярной" точке κ = 0. При −1 < κ < 1 и вещественных ϑ решения u κ ϑ (E) однозначно определяют унитарный оператор разложения по собственным функциям U κ,ϑ : L2(0, ∞) → L2(R, V κ,ϑ), где V κ,ϑ-положительная мера на пространстве R. Показано, что каждая самосопряженная реализация формального дифференциального выражения −∂ 2 r + qκ(r) для гамильтониана диагонализуется оператором U κ,ϑ при некотором ϑ ∈ R. При помощи подходящих сингулярных m-функций Титчмарша-Вейля явно найдены меры V κ,ϑ и доказана их непрерывность по κ и ϑ. Ключевые слова: уравнение Шредингера, обратноквадратичный потенциал, самосопряженные расширения, разложения по собственным функциям, m-функция Титчмарша-Вейля.