О Кольцевых Структурах На Множестве Целых Чисел

Abstract

АннотацияХорошо известно, что кольцо целых чисел Z является -кольцом, следовательно, на аддитивной группе Z можно задать единственную (с точностью до изоморфизма) структу-ру кольца с единицей. Возникает естественный вопрос о единственности структуры коль-ца с единицей на мультипликативном моноиде Z. В работе показано, что данный вопрос решается отрицательно. Более того, построен и описан метод, позволяющий получать раз-личные кольцевые структуры на мультипликативном моноиде Z с помощью мультипли-кативных автоморфизмов. Для мультипликативного моноида Z введено понятие базиса и доказано, что с точностью до знака не существует базисов, отличных от базиса, состоящего из всех простых чисел, и базисов, получающихся из него путём перестановки элементов. В конце работы приводится пример задания нового кольца на множестве Z при фиксиро-ванном стандартном умножении. Новое сложение на мультипликативном моноиде Z полу-чается с помощью перестановки простых чисел (в подробно разобранном примере -это перестановка 2 ↦ → 3 ↦ → 5 ↦ → 2). Из полученных в статье результатов, в частности, следует, что кольцо Z не является кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом).Ключевые слова: кольцо целых чисел, -кольцо, аддитивная группа, кольцо с одно-значным сложением, мультипликативная полугруппа кольца, моноид. AbstractIt is well known that the ring of integers Z is an -ring, therefore it is possible to define unique (up to isomorphism) structure of a ring with identity on the additive group Z. A natural question arises about the uniqueness of the ring structure with identity constructed on a multiplicative monoid Z. It is shown in this paper that this question is solved negatively. Moreover, a method of construction new various ring structures on the multiplicative monoid Z by dint of multiplicative automorphisms was developed and described. The concept of basis was introduced for the multiplicative monoid Z, and it was shown that there are no bases (up to sign) that are differ to a basis consists of all prime numbers, and bases that are obtain of that basis by a permutations of its elements. The example of construction a new ring structure on the set Z for fixed standart multiplication is given in the end of this paper. The new addition on the multiplicative monoid Z is obtained by a permutation of prime numbers (it is 2 ↦ → 3 ↦ → 5 ↦ → 2 permutation in the detailed example). From the results obtained in the paper it follows in particular, that the ring Z is not an unique addition ring (UA-ring).