Непертурбативный Подход К Конечномерным Негауссовым Интегралам

Abstract

Изучается однородный негауссов интеграл J n|r (S) = e −S(x 1 ,...,xn) d n x, где S(x1, . . . , xn) -симметрическая форма степени r от n переменных. Этот ин-теграл естественно инвариантен относительно SL(n)-преобразований, и поэто-му зависит лишь от инвариантов формы: например, для квадратичных форм он равен определителю формы в степени −1/2. Для форм старших степеней интеграл в ряде случаев удается вычислить, используя так называемые тожде-ства Уорда -линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Описан метод вычисления интеграла и приведены детальные вычисления для случая n = 2, r = 5. Интересно, что ответ оказывается гипергеометрической функцией от инвариантов формы.Ключевые слова: негауссов интеграл, тождества Уорда, теория инвариантов. НЕГАУССОВЫ ИНТЕГРАЛЫИзвестно, что экспонента от квадратичной формы, усредненная по всему линей-ному пространству, пропорциональна определителю этой формы в степени −1/2:Это простое равенство находит множество применений в теоретической физике, в частности в статистике и квантовой теории поля. В контексте квантовой тео-рии поля форма S называется действием, а само равенство носит название гауссова интеграла. Разумеется, равенство (1) несложно вывести, если воспользоваться ин-вариантностью интеграла относительно линейных замен переменных с единичным определителем и привести форму к диагональному виду. Возможность диагонали-зации существенно упрощает вычисления с формами второй степени. К сожале-нию, такие методы не работают для кубических форм и форм старших степеней. Это можно видеть уже из подсчета размерностей: число независимых параметров * Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия. E-mail: shakirov@itep.ru † Московский физико-технический институт, Долгопрудный, Московская обл., Россия.