Классификация Систем Морса-Смейла И Топологическая Структура Несущих Многообразий

Abstract

Системы Морса-Смейла естественным образом возникают в приложениях при математическом моделировании процессов с регулярной динамикой (например, в цепочках связанных отображений, описывающих реакции диффузии, или при изучении топологии магнитных полей в проводящей среде, в частности при исследовании вопроса существования сепараторов в магнитных полях хорошо проводящих сред). Поскольку математические модели в форме систем Морса-Смейла появляются при описании процессов, имеющих разную природу, первым шагом в изучении таких моделей является выделение свойств, не зависящих от физического контекста, но определяющих разбиение фазового пространства на траектории. Отношение, сохраняющее разбиение на траектории с точностью до гомеоморфизма, называется топологической эквивалентностью, а отношение, сохраняющее дополнительно время движения по траекториям (непрерывное в случае потоков и дискретное в случае каскадов), называется топологической сопряженностью. Задача топологической классификации динамических систем состоит в поиске инвариантов, однозначно определяющих класс эквивалентности или сопряженности для заданной системы. Настоящий обзор посвящен изложению результатов по топологической классификации систем Морса-Смейла на замкнутых многообразиях, включая результаты, полученные авторами в последнее время. Также приведены недавние результаты авторов, относящиеся к взаимосвязи между глобальной динамикой таких систем и топологической структурой несущих многообразий. Библиография: 112 названий.

О реализации классов топологической сопряженности каскадов Морса-Смейла на сфере $S^n$

“…Починки и Е. Пеку (см. обзор [13]). В большей размерности замыкания неустойчивых многообразий седловых периодических точек размерности {1, n − 1} не могут быть дико заузленными, что позволяет в данной работе завершить решение проблемы топологической классификации для диффеоморфизмов из G(S n ) на комбинаторном языке, а именно предложить алгоритм построения стандартного представителя в каждом классе топологической сопряженности (теорема 1).…”

“…Проблема топологической классификации систем Морса-Смейла имеет долгую и богатую историю (см. обзор [13]), но в размерности 4 и выше имеется лишь небольшое число результатов. Решение задачи топологической классификации градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений на сфере S n , n ≥ 3, принадлежит С.Ю.…”