К Линейной Теории Функционально-Дифференциальных Уравнений: Теоремы Существования И Проблема Точечной Полноты Решений

Abstract

УДК 517.911 Л. А. Бекларян К линейной теории функционально-дифференциальных уравнений: теоремы существования и проблема точечной полноты решений Рассматриваются краевая и начально-краевая задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Опреде-лена подходящая шкала функциональных пространств, в терминах кото-рой сформулированы теоремы существования решения в виде аналогов теорем Нётера. В случае начально-краевой задачи установлен нетриви-альный факт о необходимости расширения пространства классических ре-шений сопряженного уравнения вплоть до импульсных решений. Получен критерий точечной полноты решений. Представленные результаты осно-ваны на формализме, разработанном автором для таких уравнений.Библиография: 7 названий.Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, шкала функциональных пространств, импульсные решения, аналог тео-ремы Нётера, точечная полнота решений. § 1. Введение Известно, что функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) точеч-ного типа не наследуют всех замечательных свойств обыкновенных дифферен-циальных уравнений (ОДУ). Метод исследования ФДУ точечного типа, осно-ванный на их групповых особенностях (см. [1]), позволил получить неулучша-емые условия, которые определяют способы регулярного расширения класса ОДУ в классе ФДУ точечного типа в смысле сохранения таких свойств ре-шений ОДУ, как существование и единственность в заданном классе функ-ций, непрерывная зависимость решения от начальных условий, точечная пол-нота решений, n-параметричность пространства решений, "гладкость" реше-ния, свойство "грубости" уравнения и т.д. В рамках такого подхода решения ФДУ точечного типа ищутся в однопараметрическом семействе банаховых про-странств функций x( · ) с весами Отмеченные неулучшаемые условия формулируются в терминах правой ча-сти ФДУ в виде константы Липщица и параметра µ (см. [1; гл. 1, § 3]). Вместе с тем очень важны исследования ФДУ точечного типа и в случае нарушения отмеченных выше неулучшаемых условий. В этой связи одной из централь-ных задач является вопрос существования решения, который будет изучен для основной начально-краевой задачиA j x(t + n j ) + ψ(t), t ∈ B R , (1.2)x(t) = ϕ(t), t ∈ R \ B R , (1.3)x(t) = x, t ∈ R, x ∈ R n , (1.4) где A j -матрица размерности n × n, n j ∈ Z, j = 1, . . . , s; ψ( · ) ∈ L n µ * C (0) (R),L n r C (0) (R), µ * ∈ (0, +∞); B R -либо интервал [t 0 , t 1 ], t 0 , t 1 ∈ R, либо полупрямая [t 0 , +∞), t 0 ∈ R, либо прямая R. Не нарушая общности, можно считать, что n 1 < · · · < n s . Определение 1. Абсолютно непрерывная функция x( · ), определенная на всей прямой R, называется решением ФДУ (1.2) точечного типа, если для почти всех t ∈ B R удовлетворяет этому уравнению.Подавляющее число работ посвящены изучению уравнений запаздывающе-го типа (n j 0, j = 1, . . . , s) с начально-краевым условием, в котором t = t 0 . Для такой начально-краевой задачи решение всегда существует и единствен-но. Вопрос состоит в изучении интегральных представлений такого решения, чему посвящено большое число работ, из которых мы упомянем ...