Задача минимального неравномерного разбиения графа на части c несвязанными весами

Abstract

Приводится бикритериальный аппроксимационный алгоритм для задачи минимального разбиения графа на (неравные) части, недавно предложенной Р. Краутгеймером, Дж. Наором, Р. Шварцем и К. Талваром. В этой задаче даны граф $G=(V, E)$ и $k$ чисел $\rho_1, …, \rho_k$. Цель состоит в нахождении разбиения множества вершин $V$ на $k$ непересекающихся множеств (кластеров) $P_1, …, P_k$, минимизирующего число разрезанных ребер и удовлетворяющего условию $|P_i| \leq (5+\varepsilon) \rho_i |V|$ для всех $i$. Построенный бикритериальный алгоритм дает аппроксимацию $O(\sqrt{\log |V | \log k})$ для произвольных графов и константную аппроксимацию для графов с исключенным фиксированным минором. Приближенное решение удовлетворяет ослабленным ограничениям на размеры частей: $|P_i| \leq (5+ \varepsilon)\rho_i |V|$. Данный алгоритм улучшает алгоритм Краутгеймера, Наора, Шварца и Талвара, у которого коэффициент аппроксимации равен $O(\log |V|)$. Полученные результаты обобщаются на случай "несвязанных весов" и на случай "несвязанных $d$-мерных весов". Предварительный вариант настоящей работы был представлен на 41-м международном коллоквиуме по автоматам, языкам и программированию (ICALP 2014). Библиография: 7 названий.