Ανάλυση Επίδοσης Σφάλματος Σχημάτων Τούρμπο Κωδίκων Με Αναδιατάκτες Άρτιων-Περιττών Θέσεων, Βάσει Του Φάσματος Αποστάσεών Τους

Abstract

Το έτος 1948 διατυπώνεται «Μια Μαθηματική Θεωρία Επικοινωνίας» από τον Claude E. Shannon, η οποία ανατρέπει τη διάχυτη πεποίθηση των μηχανικών πως ρυθμός μετάδοσης και επίδοση σφάλματος είναι μεγέθη αντικρουόμενα. Για τη νέα θεωρία, και ο ρυθμός μετάδοσης μπορεί να είναι οσοδήποτε κοντά στον μέγιστο, τη χωρητικότητα καναλιού, και ο ρυθμός σφαλμάτων οσοδήποτε μικρός· αρκεί το σύστημα επικοινωνίας να χρησιμοποιεί κώδικες καναλιού. Παρά τη σημειούμενη πρόοδο, έκτοτε, προς την πραγματοποίηση της διπλής αυτής υπόσχεσης, η λειτουργία κοντά στη χωρητικότητα άρχισε να παγιώνεται ως πρακτικά ανέφικτη. Το 1993 σημειώνεται η ανατροπή της δεύτερης αυτής πεποίθησης με την παρουσίαση —από έναν έτερο Claude— ενός (απο)κωδικοποιητή που λειτουργούσε μεταξύ 0.5 dB από τη χωρητικότητα: των κωδίκων τούρμπο. Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελεί μια θεωρητική εργασία στο αντικείμενο της σχεδίασης αναδιατάκτη για τούρμπο κώδικες. Θεωρούμε τη συνθήκη «άρτια-περιττά», η οποία επιβάλλει στα σύμβολα πληροφορίας των άρτιων (περιττών) θέσεων να βρίσκονται σε άρτιες (περιττές) θέσεις και μετά τον αναδιατάκτη, και πραγματοποιούμε μιαν αναλυτική σύγκριση της επίδοσης σφάλματος τριών σχημάτων τούρμπο κωδίκων χωρίς και με αυτήν: των συμμετρικών μη διάτρητων τούρμπο κωδίκων, των διάτρητων, και της τούρμπο τρέλις κωδικοποιημένης διαμόρφωσης. Η ανάλυση βασίζεται στον μαθηματικό και πειραματικό υπολογισμό του μέσου φάσματος αποστάσεων τυχαίων χώρων των σχημάτων, καταγράφεται —για τα δύο πρώτα— σε φράγματα ένωσης, κι επαληθεύεται από εκτενείς Monte Carlo προσομοιώσεις στα εκάστοτε θεωρούμενα κανάλια. Συγκεκριμένα, για το πρώτο σχήμα εισάγουμε καινούριους απαριθμητές βάρους με σκοπό την αποτύπωση των επιπτώσεων της συνθήκης στο χαμηλότερο τμήμα του φάσματός του. Δείχνουμε, έτσι, ότι η συνθήκη δεν επηρεάζει το κέρδος αναδιατάκτη —όπως πιστεύεται από μερίδα της αρθρογραφίας—, αλλά τις πολλαπλότητες. Για το δεύτερο σχήμα αναδεικνύουμε αδυναμίες της εκεί διατυπωθείσας «εικασίας της ομοιόμορφης προστασίας», η οποία συνδέει αιτιακά τη συνθήκη με τη βελτίωση της επίδοσης, και την αντικαθιστούμε με τη θεωρία του φάσματος αποστάσεων. Η ισχύς της δεύτερης έναντι της πρώτης αναδεικνύεται για τρεις δομές αναδιατακτών: τους τυχαίους, S-τυχαίους και μπλοκ. Για το τρίτο σχήμα ανακαλύπτουμε ένα φαινόμενο που λαμβάνει χώρα με την αφαίρεση της συνθήκης, το οποίο ονομάζουμε «διαρροή πιθανότητας», με τάσεις πύκνωσης του φάσματος του υποκείμενου τούρμπο κώδικα. Η διαρροή πιθανότητας προσφέρει μια καινούρια κατανόηση της λειτουργίας της συνθήκης. Η διατριβή ολοκληρώνεται με ένα τέταρτο σχήμα, την τούρμπο κωδικοποιημένη διαμόρφωση χώρου-χρόνου, για το οποίο μελετάται η συμπεριφορά της συνθήκης μέσω προσομοιώσεων σε δύο κανάλια πολλαπλών εισόδων/εξόδων. Η συνθήκη άρτια-περιττά αφενός είναι δημοφιλής στους τούρμπο κώδικες σύγχρονων προτύπων επικοινωνίας, αφετέρου έχει αποτελέσει πεδίο αντιγνωμιών ή παρανοήσεων στην αρθρογραφία. Με την παρούσα διατριβή ορισμένες από αυτές λύνονται, ενώ άλλες οδηγούνται προς τη λύση τους.