Αλγοριθμικές Διαδικασίες Ως Κύρια Μαθηματική Γνώση

Abstract

Οι αλγόριθμοι αποτελούν κύριο και ουσιώδες κομμάτι της διαδικαστικής γνώσης στα Μαθηματικά. Μάλιστα, τα Μαθηματικά, υπό μία διασταλτική έννοια, είναι μόνο αλγόριθμοι. Ως αλγόριθμοι, σύμφωνα με τον σύγχρονο εννοιολογικό προσδιορισμό τους, δε λογίζονται, αποκλειστικά, οι τυποποιημένες διαδικασίες, όπως η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, αλλά όλες οι ακολουθιακές σειρές, καλά ορισμένων, πεπερασμένων βημάτων (εντολών ή ενεργειών) που μπορεί να επαναλαμβάνονται, οι οποίες καθορίζουν τρόπους επιτυχούς ολοκλήρωσης μιας συγκεκριμένης διεργασίας. Ένας αλγόριθμος είναι μια μεθοδική σειρά βημάτων, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εκτέλεση υπολογισμών, την επίλυση προβλημάτων και τη λήψη αποφάσεων. Ένας αλγόριθμος δεν είναι ένας συγκεκριμένος υπολογισμός, αλλά η μέθοδος που ακολουθείται κατά τον υπολογισμό. Ωστόσο, στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, ο ορισμός του αλγόριθμου είναι ψαλιδισμένος, καθότι ως αλγόριθμοι θεωρούνται, κατά βάση, μόνο οι τυποποιημένες διαδικασίες, κατά την εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων της Αριθμητικής. Ο «μαθηματικός» αλγόριθμος διαφέρει από τον «υπολογιστικό-συμβολικό», καθώς τον δεύτερο τον καθορίζει η δυνατότητα εφαρμοσιμότητάς του σε έναν υπολογιστή, όπου κάθε βήμα πρέπει να είναι ορισμένο επακριβώς, ώστε να μπορεί να περιγραφεί από μια γλώσσα προγραμματισμού και να εκτελεστεί, κατόπιν, από μια μηχανή. Σήμερα, πιστεύεται ότι οι αλγόριθμοι είναι τα κλειδιά για την αποκωδικοποίηση του σύμπαντος και τη φανέρωση των κρυμμένων μυστικών του, αφού η βηματική δυναμική των αλγόριθμων καταφέρνει να δαμάζει τις καταιγιστικές πληροφορίες των ημερών μας, επιτρέποντας στην ανθρωπότητα να πραγματοποιεί ασύλληπτες, υπερφυσικές και εξωπραγματικές νοητικές υπερβάσεις. Το γεγονός αυτό δικαιολογεί, ενδεχομένως τη σημερινή περίβλεπτη θέση των αλγόριθμων, ως επιστημονικού εργαλείου, αλλά και επιβεβαιώνει τη σημαντικότητα των αλγόριθμων, ως κρίσιμης μαθηματικής γνώσης. Η παρούσα διατριβή, μελετά τον «μαθηματικό» αλγόριθμο και χωρίζεται σε δυο μέρη, ακριβώς αντίστοιχα των δυο φράσεων του τίτλου της. Το πρώτο μέρος είναι αφιερωμένο στις αλγοριθμικές διαδικασίες, ως κύριας μαθηματικής γνώσης, ενώ το δεύτερο εστιάζεται στη διδασκαλία και μάθηση των αλγόριθμων στο Δημοτικό Σχολείο. Το πρώτο μέρος, στο πλαίσιο βελτίωσης της διδασκαλίας και μάθησης των αλγόριθμων, αξιοποιώντας και τον σημαντικό ρόλο της ιστορίας των Μαθηματικών στη βελτίωση της διδασκαλίας και της μάθησης των Μαθηματικών, εξετάζει πολλούς παράγοντες (που αφορούν στον αλγόριθμο), οι οποίοι επηρεάζουν, καθοριστικά, τις υιοθετούμενες διδακτικές πρακτικές στα σχολεία. Σκοπός του είναι, μέσα από το πλούσιο παρατιθέμενο επιστημονικό, διδακτικό και ιστορικό υλικό, οι μαθητές (αλλά και οι δάσκαλοι) του Δημοτικού Σχολείου και της Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης γενικότερα, να ωφεληθούν γνωστικά, μαθησιακά και παιδαγωγικά, αντιλαμβανόμενοι, ταυτόχρονα, τη σπουδαιότητα και την κομβικότητα της διδασκαλίας των αλγοριθμικών διαδικασιών. Η ισχνή δημοφιλία των Μαθηματικών, ως σχολικού μαθήματος, η εννοιολογική οριοθέτηση, τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του αλγόριθμου, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, τα πολλά είδη αλγόριθμων, στοιχειωδών ή μη (με ιδιαίτερη βαρύτητα σε όσους αλγόριθμους αφορούν στους πρώτους αριθμούς και την παραγοντοποίηση), όπως και ο πρώτος, ιστορικά, μη τετριμμένος αλγόριθμος αποτελούν τα πρώτα κεφάλαια της διδακτορικής διατριβής. Επίσης, εκτενής αναφορά γίνεται και στην κατηγοριοποίηση των P και NP προβλημάτων απόφασης. Στη συνέχεια, εξετάζονται πολλές παράμετροι και αλγοριθμικά βήματα, που αφορούν στην επίλυση προβλημάτων αλλά και προβλημάτων που επιδέχονται και αλγοριθμική λύση. Η αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων προβάλλει ως μια προ-κλητική εκπαιδευτική διαδικασία, καθώς μπορεί να προσφέρει αποτελεσματικές λύσεις, σε πολλά ομοειδή μαθηματικά και μη προβλήματα. Επίσης, παρουσιάζονται και εξετάζονται, ενδελεχώς, και πολλά (κλασικά) προβλήματα, άλυτα για αιώνες, που επιλύθηκαν, μέσω υπολογιστή, με την αξιοποίηση σχετικών αλγόριθμων, υπολογιστικών προγραμμάτων και εξαντλητικών υπολογισμών. Ακολούθως, σε καθαρά ιστορικό πλαίσιο καταγράφεται μια διαδρομή 4.000 χρόνων, μέχρι τις μέρες μας, και εξετάζονται δυο αρχαίοι αλγόριθμοι, οι οποίοι αξιοποιούν σφάλματα και επιλύουν όλα, σχεδόν, τα προβλήματα της λεγόμενης Πρακτικής Αριθμητικής. Ο αιγυπτιακός και βαβυλωνιακός αλγόριθμος της απλής λαθεμένης παραδοχής, απαιτεί μια δοκιμή και επιλύει τα προβλήματα της Αριθμητικής που καταλήγουν σε εξίσωση πρώτου βαθμού χωρίς σταθερό όρο, ενώ ο κινεζικός αλγόριθμος της διπλής λαθεμένης παραδοχής, χρειάζεται δυο δοκιμές και επιλύει προβλήματα της Αριθμητικής που καταλήγουν σε εξίσωση πρώτου βαθμού με σταθερό όρο. Κατόπιν, μελετώνται πολλά αρχαϊκά προσθετικά αριθμητικά συστήματα, αλλά και το τρέχον θεσιακό ινδοαραβικό, του οποίου η επικράτηση σημειώθηκε στα χρόνια της Αναγέννησης, αφού τερματίστηκε μια ανόητη διαμάχη, στα χρόνια του Μεσαίωνα, μεταξύ Αβακιστών και Αλγορι(θμι)στών. Στη συνέχεια, αναφέρονται κρίσιμα ιστορικά στιγμιότυπα μιας περιόδου 1.200 χρόνων. Η ετυμολόγηση των όρων «αλγορισμός» και «αλγόριθμος», καθώς και η πορεία της εννοιολόγησης του αλγόριθμου από την εποχή του (αναδόχου του) Αl-khwarizmi, μέχρι τον 20ό αιώνα, αποτελούν τους κύριους βραχίονες αυτής της πλούσιας διαδρομής. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας διερευνώνται, αρχικά, πολλοί από τους παράγοντες που διαμορφώνουν το διδακτικό, παιδαγωγικό και μαθησιακό κλίμα, που αφορά στη διδακτική των αλγόριθμων στο Δημοτικό Σχολείο, με την κύρια στόχευση να επικεντρώνεται στους αλγόριθμους των τεσσάρων πράξεων της Αριθμητικής. Μετέπειτα, ερευνάται, μέσω ποιοτικής ανάλυσης περιεχομένου, η παιδαγωγική και επιστημονική ποιότητα και συνεισφορά και των έξι τρεχόντων εγχειριδίων των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου, ως προς την παρουσίαση και τη διδασκαλία των αλγόριθμων. Γενικά, φάνηκε ότι η σειρά των έξι εγχειριδίων των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου πληροί αρκετές παιδαγωγικές και διδακτικές προδιαγραφές και δεν απέχει των σύγχρονων επιστημονικών αντιλήψεων, όσον αφορά στην παρουσίαση και τη μελέτη των αλγόριθμων, πλην της σχεδόν μηδενικής αναφοράς της λέξης ως μαθηματικού όρου. Ακολούθως, στα τελευταία κεφάλαια της διατριβής, παρουσιάζεται το κυρίως ερευνητικό κομμάτι της. Κύριος σκοπός της ποσοτικής έρευνας, που διενεργήθηκε μέσω ερωτηματολογίου, με υποκείμενα 614 δασκάλους ΠΕ70 της Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης, υπήρξε η διερεύνηση των απόψεων των εκπαιδευτικών, όσον αφορά στην ποιότητα των τρεχόντων εγχειριδίων των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο αλλά και τον ρόλο, την αξία και τη μαθησιακή συνεισφορά των αλγοριθμικών διαδικασιών (όλων των τύπων) και τον τρόπο διδασκαλίας και μάθησής τους στο Δημοτικό Σχολείο. Επίσης, και κάποιες κρίσιμες εκπαιδευτικές παράμετροι, όπως η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών, καθώς και οι απόψεις των εκπαιδευτικών για το πώς θεωρούν ότι οι μαθητές τους αντιλαμβάνονται τα Μαθηματικά ως μάθημα του Δημοτικού Σχολείου, υπήρξαν ενότητες της παρούσας έρευνας. Η ανάγνωση και ερμηνεία των αποτελεσμάτων κατέδειξε ότι οι απαντήσεις των εκπαιδευτικών του δείγματος σχεδόν ευθυγραμμίζονται με τις κρατούσες παιδαγωγικές και διδακτικές θεωρίες. Οι μόνες διαφοροποιήσεις, στις πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών του δείγματος, εστιάζονται στη μη συνειδητοποίηση της απαραίτητης πλουραλιστικότητας-πολυτροπικότητας που πρέπει να διέπει τη διδασκαλία και τη μάθηση των αλγόριθμων (ειδικά η αξία της χρήσης των αριθμομηχανών, ως ενός σημαντικού γνωστικού και διαμεσολαβητικού εργαλείου στο μάθημα των Μαθηματικών, είναι πολύ υποτιμημένη). Επίσης, η υποβάθμιση της διδασκαλίας των τυπικών, παραδοσιακών γραπτών αλγόριθμων, προς όφελος της καλλιέργειας και ανάπτυξης επινοημένων εναλλακτικών στρατηγικών, δε φαίνεται ότι αποτελεί, ακόμη, διδακτική προτεραιότητα για τους δασκάλους. Γενικά, παρατηρήθηκε και μια συλλήβδην απόρριψη των τρεχόντων εγχειριδίων των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείο, όσον αφορά στη συμβολή τους στη διδασκαλία και μάθηση όλων των τρόπων εκτέλεσης των αλγόριθμων της Αριθμητικής. Τέλος, το μεγαλύτερο ποσοστό των εκπαιδευτικών του δείγματος παραδέχεται ότι οι δάσκαλοι του Δημοτικού Σχολείου έχουν διδακτικές και γνωστικές ελλείψεις στα Μαθηματικά των μεγάλων τάξεων, ενώ θεωρεί και αναποτελεσματική την επιμόρφωση, που παρακολούθησε, η οποία αφορούσε στα τρέχοντα διδακτικά πακέτα των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου.