Методы экспоненциальных временных разностных схем дают устойчивые явные схемы для систем с быстро затухающими или осциллирующими модами («жестких» систем), снимая ограничение на величину шага по времени. Кроме того, использование этих методов позволяет радикально снижать скорость накопления погрешности при численном интегрировании консервативных систем. Особенно большой выигрыш в скорости счета получается для уравнений в частных производных с высоким порядком пространственных производных. Вместе с тем задача определения коэффициентов разностных схем этих методов становится крайне трудоемкой или аналитически неразрешимой при недиагональном виде принципиальной линейной части системы уравнений. В работе предлагается подход, при котором коэффициенты схем вычисляются путем прямого численного интегрирования некоторых вспомогательных задач на коротком временном интервалеодном шаге схемы. Подход является универсальным, его использование проиллюстрировано на четырех примерах: аналитически решаемой системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, одномерной системе с реакцией-диффузией в нестационарных условиях, двухмерной системе с реакцией-диффузией при стационарных и нестационарных условиях, одномерном уравнении Кана-Хилларда с постоянными коэффициентами. Использование метода экспоненциальных разностей по времени типа Рунге-Кутты второго порядка дает выигрыш скорости счета для уравнения диффузионного типа при оптимизации программы. Без оптимизации выигрыш растет на порядок по пространственному шагу с каждым новым порядком старшей пространственной производной и появляется, начиная с третьего порядка пространственной производной. Использование метода делает возможными исследования аналога локализации Андерсона в двух-и трехмерных активных средах, а также позволяет получить приемлемую производительность при прямом численном моделировании задач динамики плотности распределения активных броуновских частиц общего вида.Ключевые слова: методы экспоненциальных временных разностных схем, методы Кокса-Мэттьюса, жесткие системы, недиагональные уравнения Exponential time differencing methods provide instability-free explicit schemes for systems with fast decaying or oscillating modes (stiff systems), without limitation on the time step size. Moreover, with these methods, one can drastically diminish the error accumulation rate for numerical simulation of conservative systems. The methods yield an especially large performance gain for PDEs with high order of spatial derivatives. Simultaneously, the problem of analytical calculation of coefficients of exponential time differencing schemes becomes laborious or unsolvable in the case of a nondiagonal form of the principal linear part of equations. We introduce an approach, where the scheme coefficients are obtained from the direct numerical integration of certain auxiliary problems over a short time interval -one scheme step size. The approach is universal and its implementation is illustrated with four examples: analytically solvable system of two first-order ODEs,...
