Von Neumann–Morgenstern solutions in the assignment market

Abstract

The existence of von Neumann-Morgenstern solutions (stable sets) for assignment games has been an unsolved question since Shapley and Shubik [11].For each optimal matching between buyers and sellers, Shubik [12] proposed considering the union of the core of the game and the core of the subgames that are compatible with this matching. We prove in the present paper that this set is the unique stable set for the assignment game that excludes thirdparty payments with respect to a fixed optimal matching. Moreover, the stable sets that we characterize, as well as any other stable set of the assignment game, have a lattice structure with respect to the same partial order usually defined on the core.

An alternative proof of the characterization of core stability for the assignment game

“…The proof in these notes is not complete and the above conjecture was finally proved in Núñez and Rafels (2013). Now, based on Núñez and Rafels (2002), where a lower bound for the core payoff of a buyer-seller pair is provided, we are able to offer a proof of the characterization of core stability for assignment games that is alternative to the one provided in Solymosi and Raghavan (2001).…”

An axiomatization of the nucleolus of assignment markets

“…Other solutions have been considered for the assignment game: Thompson's fair division point (Thompson, 1981), the kernel or symmetrically pairwise bargained allocations (Rochford 1984), the nucleolus (Solymosi and Raghavan 1994), the Shapley value (Hoffmann and Sudhölter, 2007; van den Brink and Pintér, 2012) and the von Neumann-Morgenstern stable sets (Núñez and Rafels 2013). However, axiomatic characterizations of solutions in this framework have been mainly focused on the core (Sasaki, 1995;Toda, 2003 and2005).…”

Stabil halmazok hozzárendelési játékokban

“…A dolgozat öt fejezetből áll és a kooperatív játékelmélet egyik első megoldáskoncepciójával a stabil halmazokkal foglalkozik a hozzárendelési játékok osztályán. Az 1. fejezetben bemutatjuk az állítások kimondásához szükséges definíciókat, ismertetjük a vonatkozó irodalmat, valamint néhány, a témában született eredményre (Solymosi & Raghavan, 2001;Núñez & Rafels, 2013) adunk új, egyszerűbb bizonyítást.…”

“…Megadták a hozzárendelési játékok egy olyan részosztályát, ahol a mag (a semmilyen elosztás által nem dominált elosztások halmaza) stabil halmaz, következésképpen az egyetlen stabil halmaz. Núñez & Rafels (2013) belátták, hogy a Shapley által javasolt halmaz (Shubik, 1984) stabil. A hozzárendelési játékokhoz hasonló probléma esetén a házaspárosítások-nál (Gale & Shapley, 1962), amely probléma tekinthető a hozzárendelési játékok nem átruházható hasznosságú változatának Ehlers (2007) megadta a stabil halmazoknak egy karakterizációját, Wako (2010) megmutatta, hogy a házaspárosítás problémában mindig létezik stabil halmaz, és ez a halmaz egyértelmű.…”

“…Ezt a kiegészítését Shapley javasolta, ami később (Shubik, 1984) könyvében jelent meg. Általános esetben a külső stabilitást nem tudták bizonyítani, ezt később Núñez & Rafels (2013) tették meg. Ez a időben körülbelül ugyanakkor készült kicsit hamarabb is, de a másik jelent meg.…”