Verzerrungssätze und Koeffizientenbedingungen von GRUNSKYschen Typ für quasikonforme Abbildungen

Abstract

I.Von fundamentaler Bedeutung fur die Theorie der schlichten konformen Abbildungen sind die bekannten, 1939 von H. GRUNSKY [lo] angegebenen notwendigen und hinreichenden Koeffizientenbedingungen. Diese sind inzwischen in mannigfacher Weise neu hergeleitet , modifiziert und verallgemeinert worden. Sie hlingen eng mit einer Satzgruppe zusammen, die zuerst von G. M. GOLUSIN [7] betrachtet wurde. In vorliegender Mitteilung sollen diese Koeffizientenbedingungen und GoLusINschen Verzerrungsslitze auf quasikonforme Abbildungen verallgemeinert werden. Und zwar werden quasikonforme Abbildungen eines Gebietes der x-Ebene betrachtet, fur die die Dilatation p (2) (= Achsenverhliltnis 2 1 der infinitesimalen Ellipsen, die Bilder der zum Punkte z konzentrischen infinitesimalen Kreise sind) in allen Punkten z eine Ungleichung(1) P (4 5 p o ( 4 erfullt mit einer fest vorgegebenen, im folgenden stets beschrlinkten und z. B. noch stuckweise glatten Ortsfunktion po(x) 2 1. Diese Funktion po sei noch in gewissen Teilbereichen E 1, so daB die Abbildungen dort notwendig konform sind, also dort in einem vorgegebenen Punkt Potenzbzw. LAURENT-Reihenentwicklungen moglich werden, fiir deren Koef-'fizienten dann scharfe notwendige Bedingungen hergeleitet werden. Hieraus ergeben sich als Spezial-bzw. Grenzfall, wenn po 3 1 im ganzen betrachteten Gebiet gesetzt wird, wieder bekannte Koeffizientenbedingungen bzw. Verzerrungsslitze fiir schlichte konforme Abbildungen. Wie in vorangegangenen Arbeiten [13], [14], [I61 (man beachte auch die dort zitierten Arbeiten von C. ANDREIAN CAZACU) werden die in vorliegender Arbeit auftretenden Extremalfunktionen wesentlich aus den Losungsfunktionen f ( z ) = u + i v des elliptischen Systems(2) ux = po * vy, uy = -p 0 * v x ,

Extremal problems in classes of analytic univalent functions with quasiconformal extensions

“…If in Corollaries 1 and 2 we let K(p) = K and let r -» 0 then by Remark 2 we have agreement with Kühnau's results [5]. Also, if we let k-* 1, they yield the classical results of C. Loewner [7].…”

“…Golusin distortion functional defined on 2^ and 2^ [5], respectively, by replacing 9, in (55) by the corresponding value (54).…”

Extremal Problems in Classes of Analytic Univalent Functions with Quasiconformal Extensions

“…This result follows in a standard way from Theorem 2 (see [l] or [5]) or directly through an application of the variational method [8].…”

“…For g £ 2K , by Remark l(ii), one substitutes $2m = -r2m in (66) to obtain bounds and in (67) to obtain extremal functions. In particular, to obtain Kühnau's result [5] for 2K> let r= 0. Finally to obtain the classical result [4],.…”

Diameter problems for univalent functions with quasiconformal extension

“…Similar functions have been studied by many authors, for example, Kfihnau [4], Schober [7], and McLeavey [61. GrStzsch [1 studied diameter problems for normalized quasiconformal functions of subdomains of the unit disc by an unrefined version of extremal length (for easy reference, see Kfinzi [51).…”