Version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire X1(N)

On the Mahler Measure of 1+X+1/X+Y +1/Y

“…Prior to our work, the only method for attacking Boyd's conjectures centered around Beilinson's theorem. Brunault and Mellit used Beilinson's theorem to prove Boyd's conjectures for conductor 11 and 14 elliptic curves [8], [16]. We expect to present elementary proofs of their results in a future paper.…”

“…The integrals were then related to Mahler measures through an intricate analysis of hypergeometric functions. Formula (3) can be reduced to a Mahler measure by setting k = 4 in an identity valid for k ∈ [2,8]:…”

Equations for Mahler measure and isogenies

“…Parallel to this, Rodriguez-Villegas [15] made a more detailed analysis of Boyd's results in the light of Beilinson's conjectures. Since then, results in the direction of equations (1.1) have been proven for m(α), g(α), n(α), and r(α) by Rodriguez-Villegas [15], Brunault [6,7], Mellit [14], and Rogers and Zudilin [18,19]. For example, Rogers and Zudilin proved in [18] that…”

Арифметические Гипергеометрические Ряды

“…K-теория рассматривается как естественный аппарат, с помощью которого ги-потезы Бойда могут быть доказаны [120], [121], [36], [98]. Тем не менее наи-больший прогресс в этом направлении достигнут комбинированием K-теоре-тического подхода с методами теории модулярных функций.…”

“…Этот результат был выдвинут Бойдом в качестве гипотезы и недавно установ-лен Ф. Брюно [36] с использованием методов K-теории. В заключение приведем список гипергеометрических представлений для со-ответствующих сумм по решеткам …”