Variations on Giuga Numbers and Giuga’s Congruence

Abstract

A k-strong Giuga number is a composite integer such that n−1 j=1 j n−1 ≡ −1 (mod n). We consider the congruence n−1 j=1 j k(n−1) ≡ −1 (mod n) for each k ∈ N (thus extending Giuga's ideas for k = 1). In particular, it is proved that a pair (n, k) with composite n satisfies this congruence if and only if n is a Giuga number and λ(n) | k(n − 1). In passing, we establish some new characterizations of Giuga numbers and study some properties of the numbers n satisfying λ(n) | k(n − 1). k-Сильне число Гюга-це складене цiле число таке, що n−1 j=1 j n−1 ≡ −1 (mod n). Ми розглядаємо конгруенцiю n−1 j=1 j k(n−1) ≡ −1 (mod n) для кожного k ∈ N (таким чином ми розширюємо iдеї Гюга на випадок k = 1). Як частинний випадок доведено, що пара (n, k) зi складеним n задовольняє цю конгруенцiю тодi i тiльки тодi, коли n-число Гюга та λ(n) | k(n − 1). Крiм того, встановлено деякi новi характеристики чисел Гюга та вивчено властивостi чисел n, що задовольняють λ(n) | k(n − 1).