Unimodular eigenvalues, uniformly distributed sequences and linear dynamics

Badea, Cătălin; Grivaux, Sophie

doi:10.1016/j.aim.2006.09.010

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“…Theorem 4.5.1 ([34] To complete the gure, we would like to mention here the sources for the counter examples: Mixing operators which are not chaotic are easy to nd; Bayart and Grivaux [14] constructed a weighted shift on c 0 that is frequently hypercyclic, but neither chaotic nor mixing; Badea and Grivaux [3] found operators on a Hilbert space that are frequently hypercyclic and chaotic but not mixing. Also, Bayart and Grivaux [13] provided easy examples of topologically mixing operators that are not frequently hypercyclic.…”

Section: Discussionmentioning

confidence: 99%

“…It was only in recent years that it deserved special attention thanks to the work of Bayart and Grivaux [12,13]. The papers [3,14,10,39,59,86] contain recent advances on the subject.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…The notion of frequent hypercyclicity was extended to C 0 -semigroups in [3]. We recall the corresponding notion of lower density for a subset of R + .…”

Section: Introduction and Basic Conceptsmentioning

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“…This concept was extended to C 0 -semigroups in [3] A C 0 -semigroups is (T t ) t≥0 is said to be frequently hypercyclic if there exists x ∈ X (called frequently hypercyclic vector) such that Dens({t ≥ 0 : T t x ∈ U }) > 0 for every non-empty open subset U ⊂ X, where Dens(B) is the lower density of a Lebesgue measurable subset B ⊂ R…”

Section: Introductionmentioning

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The specification property in linear dynamics

Arnau¹

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que la presente memoria The specication property for operators ha sido realizada bajo nuestra dirección por Salud Bartoll Arnau y constituye su tesis para optar al grado de Doctor en Matemáticas.Y para que así conste en cumplimiento de la legislación vigente presentamos y apadrinamos ante la Escuela de Doctorado de la La dinámica lineal conecta el análisis funcional y la dinámica. Al igual que en sistemas dinámicos clásicos, podemos estudiar la dinámica de operadores lineales desde un punto de vista topológico. En este contexto, hablamos de que un operador tiene la propiedad de especicación (SP). Precisamente, al estudio de la propiedad de especicación en sistemas dinámicos lineales está dedicada la presente tesis doctoral. Una aplicación continua en un espacio métrico satisface la propiedad de especicación si para cualquier familia de puntos podemos aproximar, con una cierta uniformidad, partes de sus órbitas por una sola órbita de un punto periódico.La tesis es un compendio de artículos sobre la propiedad de especicación. Se estructura en cuatro partes precedidas de un capítulo dedicado a introducir la notación, denir los conceptos y enunciar los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria.Los operadores shift (desplazamiento) constituyen una de la clases más importantes, como campo de pruebas, en sistemas dinámicos lineales discretos. Debido a su estructura simple, siempre que se introduce un nuevo concepto en dinámica lineal es habitual comprobarlo sobre shifts ponderados. Por este motivo, en la primera parte de esta memoria, se estudia la propiedad de especicación para operadores desplazamiento unilaterales y bilaterales en espacios p ponderados y la relación con otras propiedades dinámicas como, por ejemplo, el caos de Devaney. Los resultados que aparecen en el capítulo 2 han sido publicados en [8].En el capítulo 3 se generalizan los resultados sobre la propiedad SP a operadores desplazamiento en F -espacios separables de sucesiones. Un F -espacio es un espacio vectorial, dotado de una F -norma, que es completo con la métrica inducida. La noción de F -norma tiene la ventaja de que permite trabajar como en un espacio de Banach llevando cuidado con la homogeneidad de la norma que ahora no se cumple. Los espacios Finalmente, en la cuarta parte de este trabajo, se extiende la propiedad de especicación a semigrupos de operadores fuertemente continuos en espacios de Banach, esto es, C 0 -semigrupos. Estos operadores pueden verse como la versión continua del caso discreto correspondiente a las iteraciones de un único operador; en otras palabras, el papel de las iteraciones en el caso discreto lo asume el parámetro en el caso continuo. Ahora, la labor de los operadores desplazamiento en espacios de sucesiones como clases de prueba la desempeñan los semigrupos de traslación. Al igual que en capítulos anteriores, se estudia la relación de lapropiedad SP para C 0 -semigrupos con otras propiedades dinámicas: mez- La tesi es un compendi de articles sobre la propietat d'especicació.S'...

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Section: Discussionmentioning

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“…It was only in recent years that it deserved special attention thanks to the work of Bayart and Grivaux [12,13]. The papers [3,14,10,39,59,86] contain recent advances on the subject.…”

Section: Introductionmentioning

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“…The notion of frequent hypercyclicity was extended to C 0 -semigroups in [3]. We recall the corresponding notion of lower density for a subset of R + .…”

Section: Introduction and Basic Conceptsmentioning

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Section: Introductionmentioning

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The specification property in linear dynamics

Arnau¹

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“…During the last years it has deserved special attention thanks to the work of Bayart and Grivaux [17,18]. For instance, the papers [3,19,21,43,67,95] contain recent advances on the subject. In this section we present some basic measure-theoretic properties that linear dynamical systems have.…”

Section: Measure-theoretic Propertiesmentioning

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